Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo principal aqui é aplicação da substituição para lidar com a raiz
, pois sua derivada aparece ao fatorizar o numerador.
Passo 2
Para usar substituição, definimos
. Assim, diferenciando ambos os lados, temos
, ou seja,
. Note também que
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em termos de
:
[
\int \frac{x{3}}{\sqrt{1-x{2}}},dx = \int \frac{x^{2} \cdot x,dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{(1 - u)\bigl(-\tfrac12 du\bigr)}{\sqrt{u}} = -\tfrac12 \int \frac{1-u}{u^{1/2}},du.
\int \frac{x{3}}{\sqrt{1-x{2}}},dx = \int \frac{x^{2} \cdot x,dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{(1 - u)\bigl(-\tfrac12 du\bigr)}{\sqrt{u}} = -\tfrac12 \int \frac{1-u}{u^{1/2}},du.
Passo 4
Simplificamos o integrando usando potências:
. Logo,
[
-\tfrac12 \int (u^{-1/2} - u^{1/2}),du = -\tfrac12 \Bigl(\int u^{-1/2},du - \int u^{1/2},du\Bigr).
-\tfrac12 \int (u^{-1/2} - u^{1/2}),du = -\tfrac12 \Bigl(\int u^{-1/2},du - \int u^{1/2},du\Bigr).
Passo 5
Calculando as primitivas separadas:
e
. Substituindo,
[
-\tfrac12 \bigl(2u^{1/2} - \tfrac{2}{3}u^{3/2}\bigr) + C = -u^{1/2} + \tfrac{1}{3}u^{3/2} + C.
-\tfrac12 \bigl(2u^{1/2} - \tfrac{2}{3}u^{3/2}\bigr) + C = -u^{1/2} + \tfrac{1}{3}u^{3/2} + C.
Passo 6
Voltando a
, temos
. Portanto a antiderivada é
Resposta
-\sqrt{1-x^{2}} + \tfrac{1}{3}(1-x{2}){3/2} + C