Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral x^3raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3raiz1-x^2,dx. O conteúdo principal aqui é aplicação da substituição para lidar com a raiz raiz1-x^2, pois sua derivada aparece ao fatorizar o numerador.

Passo 2

Para usar substituição, definimos u = 1 - x^2. Assim, diferenciando ambos os lados, temos du = -2x,dx, ou seja, x,dx = -tfrac12,du. Note também que x^2 = 1 - u.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
[
\int \frac{x{3}}{\sqrt{1-x{2}}},dx = \int \frac{x^{2} \cdot x,dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{(1 - u)\bigl(-\tfrac12 du\bigr)}{\sqrt{u}} = -\tfrac12 \int \frac{1-u}{u^{1/2}},du.

Passo 4

Simplificamos o integrando usando potências: tfrac1-uu^1/2 = u^-1/2 - u^1/2. Logo,
[
-\tfrac12 \int (u^{-1/2} - u^{1/2}),du = -\tfrac12 \Bigl(\int u^{-1/2},du - \int u^{1/2},du\Bigr).

Passo 5

Calculando as primitivas separadas: integral u^-1/2,du = 2u^1/2 e integral u^1/2,du = tfrac23u^3/2. Substituindo,
[
-\tfrac12 \bigl(2u^{1/2} - \tfrac{2}{3}u^{3/2}\bigr) + C = -u^{1/2} + \tfrac{1}{3}u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltando a x, temos u = 1 - x^2. Portanto a antiderivada é
-raiz1-x^2 + tfrac13(1-x^2)^3/2 + C

Resposta

-\sqrt{1-x^{2}} + \tfrac{1}{3}(1-x{2}){3/2} + C

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