Mostre que a curva
satisfaz a equação do cone
e use esse fato para esboçar o traço da curva.
Passo 1
Resumo do enunciado: a curva é dada por
. O conteúdo envolve curvas parametrizadas e superfícies no espaço, em particular verificar se ela está contida no cone
e depois esboçar seu traço.
Passo 2
Vamos identificar as coordenadas de
:
,
e
. A equação do cone é
Passo 3
Substituindo as componentes na equação do cone, temos:
Logo
Passo 4
Concluímos que a curva está de fato sobre o cone
, pois satisfaz a equação para qualquer
.
Passo 5
Para esboçar o traço, observe que a projeção no plano
é a espiral de Arquimedes
com ângulo
; ao mesmo tempo, a altura
cresce linearmente com
. Assim, a curva sobe em voltas desenhando uma espiral sobre a superfície cônica, onde a distância radial ao eixo
é igual à altura.
Passo 6
No esboço, desenhe um cone com semi-ângulo de 45° (porque a reta do gerador satisfaz
), e trace uma curva que, partindo da origem, faz voltas ao redor do eixo
subindo uniformemente.
Resposta
A curva satisfaz
e, portanto, fica sobre o cone, descrevendo uma espiral cônica cuja projeção no plano
é a espiral de Arquimedes
e cuja altura cresce como
.