Mostre que a curva r(t)=t cos (t) i+t sin (t) j+t k satisfaz a equação do cone z^2=x^2+y^2 e use esse fato para esboçar o traço da curva.

Passo 1

Resumo do enunciado: a curva é dada por r(t)=tcos t, i+tsin t, j+t, k. O conteúdo envolve curvas parametrizadas e superfícies no espaço, em particular verificar se ela está contida no cone z^2=x^2+y^2 e depois esboçar seu traço.

Passo 2

Vamos identificar as coordenadas de r(t):
x(t)=tcos t, y(t)=tsin t e z(t)=t. A equação do cone é
z^2=x^2+y^2

Passo 3

Substituindo as componentes na equação do cone, temos:
z^2=(t)^2=t^2,
x^2+y^2=(tcos t)^2+(tsin t)^2=t^2(cos^2t+sin^2t)=t^2
Logo z^2=x^2+y^2 para todo t.

Passo 4

Concluímos que a curva está de fato sobre o cone z^2=x^2+y^2, pois satisfaz a equação para qualquer t.

Passo 5

Para esboçar o traço, observe que a projeção no plano xy é a espiral de Arquimedes r=t com ângulo theta=t; ao mesmo tempo, a altura z cresce linearmente com t. Assim, a curva sobe em voltas desenhando uma espiral sobre a superfície cônica, onde a distância radial ao eixo z é igual à altura.

Passo 6

No esboço, desenhe um cone com semi-ângulo de 45° (porque a reta do gerador satisfaz r=z), e trace uma curva que, partindo da origem, faz voltas ao redor do eixo z subindo uniformemente.

Resposta

A curva satisfaz z^2=x^2+y^2 e, portanto, fica sobre o cone, descrevendo uma espiral cônica cuja projeção no plano xy é a espiral de Arquimedes r=t e cuja altura cresce como z=t.

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