Mostre que se um ponto se move ao longo do gráfico de
para
, então o componente normal da aceleração é 0 em um ponto de inflexão.
Passo 1
No enunciado, temos um ponto que se desloca ao longo da curva y = f(x), para a ≤ x ≤ b. O que se pede é mostrar que, num ponto de inflexão de f, a componente normal da aceleração desse movimento é zero. Vamos usar conceitos de cinemática vetorial (vetor velocidade e aceleração) e curvatura de uma curva plana.
Passo 2
Para modelar o movimento, parametrizamos a curva pela própria abscissa: x(t) = t e y(t) = f(t). Assim, as derivadas ficam: x’(t) = 1, x’’(t) = 0; y’(t) = f’(t), y’’(t) = f’’(t). Logo o vetor velocidade é v⃗ = (1, f’(t)) e o vetor aceleração é a⃗ = (0, f’’(t)). O módulo da velocidade escalar é
Passo 3
Na decomposição tangencial–normal da aceleração num movimento plano, temos
e a componente normal (em módulo) é dada por
sendo κ a curvatura da trajetória.
Passo 4
Para a curva y = f(x), uma fórmula clássica da curvatura é
Passo 5
Em um ponto de inflexão, por definição, f’’(x_inf) = 0 (e muda de sinal). Substituindo na expressão de κ, obtemos κ = 0. Logo
ou seja, a componente normal da aceleração é zero naquele ponto.