Mostre que se um ponto se move ao longo do gráfico de y=f(x) para a <= x <= b, então o componente normal da aceleração é 0 em um ponto de inflexão.

Passo 1

No enunciado, temos um ponto que se desloca ao longo da curva y = f(x), para a ≤ x ≤ b. O que se pede é mostrar que, num ponto de inflexão de f, a componente normal da aceleração desse movimento é zero. Vamos usar conceitos de cinemática vetorial (vetor velocidade e aceleração) e curvatura de uma curva plana.

Passo 2

Para modelar o movimento, parametrizamos a curva pela própria abscissa: x(t) = t e y(t) = f(t). Assim, as derivadas ficam: x’(t) = 1, x’’(t) = 0; y’(t) = f’(t), y’’(t) = f’’(t). Logo o vetor velocidade é v⃗ = (1, f’(t)) e o vetor aceleração é a⃗ = (0, f’’(t)). O módulo da velocidade escalar é
v = raiz1 + l(f'(t)r)^2,

Passo 3

Na decomposição tangencial–normal da aceleração num movimento plano, temos
a⃗ = aT,T⃗ + aN,N⃗
e a componente normal (em módulo) é dada por
aN = kappa,v^2
sendo κ a curvatura da trajetória.

Passo 4

Para a curva y = f(x), uma fórmula clássica da curvatura é
kappa(x) = l|f''(x)r|l(1 + (f'(x))^2r)^3/2,

Passo 5

Em um ponto de inflexão, por definição, f’’(x_inf) = 0 (e muda de sinal). Substituindo na expressão de κ, obtemos κ = 0. Logo
aN = kappa,v^2 = 0 times v^2 = 0,
ou seja, a componente normal da aceleração é zero naquele ponto.

Resposta

aN = 0

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