Mostre que a curva parametrizada é contínua em se, e somente se, suas funções coordenadas são contínuas em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que uma curva parametrizada é contínua em um ponto se e somente se todas as suas funções coordenadas também forem contínuas em . A matéria aqui é sobre continuidade de funções em espaços multivariados, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como isso se relaciona com suas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em se, para qualquer sequência que se aproxima de , os valores se aproximam de . Esse é o conceito básico de continuidade usando sequências.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas funções coordenadas . Cada é uma função de que dá a -ésima coordenada de em . Se todas essas funções são contínuas em , significa que, para cada , se aproxima de quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos primeiro provar a direção “se é contínua, então todas as são contínuas”. Suponha que seja contínua em . Então, para qualquer , ao considerarmos a sequência , temos em . Isso implica que cada coordenada , mostrando que cada é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: “se todas as são contínuas, então é contínua”. Suponha que cada seja contínua em . Para uma sequência , temos que cada . Então, o vetor converge para em , o que mostra que é contínua em .

Resposta

Portanto, mostramos que a curva parametrizada é contínua em se e somente se todas as suas funções coordenadas são contínuas em .

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