Mostre que a curva parametrizada alpha é contínua em t0 se, e somente se, suas funções coordenadas alpha1, ldots, alphan são contínuas em t0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que uma curva parametrizada alpha é contínua em um ponto t0 se e somente se todas as suas funções coordenadas alpha1, ldots, alphan também forem contínuas em t0 . A matéria aqui é sobre continuidade de funções em espaços multivariados, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como isso se relaciona com suas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função alpha: I to R^n é contínua em t0 se, para qualquer sequência tk que se aproxima de t0 , os valores alpha(tk) se aproximam de alpha(t0) . Esse é o conceito básico de continuidade usando sequências.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas funções coordenadas alpha1, ldots, alphan . Cada alphai é uma função de t que dá a i -ésima coordenada de alpha(t) em R^n . Se todas essas funções são contínuas em t0 , significa que, para cada i , alphai(tk) se aproxima de alphai(t0) quando tk se aproxima de t0 .

Passo 4

Vamos primeiro provar a direção “se alpha é contínua, então todas as alphai são contínuas”. Suponha que alpha seja contínua em t0 . Então, para qualquer i , ao considerarmos a sequência tk to t0 , temos alpha(tk) to alpha(t0) em R^n . Isso implica que cada coordenada alphai(tk) to alphai(t0) , mostrando que cada alphai é contínua em t0 .

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: “se todas as alphai são contínuas, então alpha é contínua”. Suponha que cada alphai seja contínua em t0 . Para uma sequência tk to t0 , temos que cada alphai(tk) to alphai(t0) . Então, o vetor alpha(tk) = (alpha1(tk), ldots, alphan(tk)) converge para alpha(t0) = (alpha1(t0), ldots, alphan(t0)) em R^n , o que mostra que alpha é contínua em t0 .

Resposta

Portanto, mostramos que a curva parametrizada alpha é contínua em t0 se e somente se todas as suas funções coordenadas alpha1, ldots, alphan são contínuas em t0 .

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