Mostre que a curva parametrizada
é contínua em
se, e somente se, suas funções coordenadas
são contínuas em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que uma curva parametrizada
é contínua em um ponto
se e somente se todas as suas funções coordenadas
também forem contínuas em
. A matéria aqui é sobre continuidade de funções em espaços multivariados, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como isso se relaciona com suas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função
é contínua em
se, para qualquer sequência
que se aproxima de
, os valores
se aproximam de
. Esse é o conceito básico de continuidade usando sequências.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas funções coordenadas
. Cada
é uma função de
que dá a
-ésima coordenada de
em
. Se todas essas funções são contínuas em
, significa que, para cada
,
se aproxima de
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos primeiro provar a direção “se
é contínua, então todas as
são contínuas”. Suponha que
seja contínua em
. Então, para qualquer
, ao considerarmos a sequência
, temos
em
. Isso implica que cada coordenada
, mostrando que cada
é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos provar a outra direção: “se todas as
são contínuas, então
é contínua”. Suponha que cada
seja contínua em
. Para uma sequência
, temos que cada
. Então, o vetor
converge para
em
, o que mostra que
é contínua em
.
Resposta
Portanto, mostramos que a curva parametrizada
é contínua em
se e somente se todas as suas funções coordenadas
são contínuas em
.