Dado a curva parametrizada
e o vetor
, mostre que se
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se o limite de uma curva parametrizada
quando
se aproxima de
é o vetor
, então os limites das funções
,
e
individualmente também são
,
e
, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos limites de funções vetoriais e das suas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a curva
tem um limite
quando
se aproxima de
, isso significa que cada componente da curva também deve ter um limite correspondente. Ou seja, o limite do vetor
é o vetor cujas componentes são os limites das funções
,
e
.
Passo 3
Então, se temos:
Isso implica que:
Cada uma dessas igualdades vem do fato de que os limites das componentes individuais devem coincidir com as componentes do vetor limite.
Resposta
Portanto, se
, então: