Dado a curva parametrizada alpha(t)=(x(t), y(t), z(t)) e o vetor A=(a, b, c), mostre que se lim t t0 alpha(t)=A, então
lim t t0 x(t)=a, lim t t0 y(t)=b, e lim t t0 z(t)=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se o limite de uma curva parametrizada alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) quando t se aproxima de t0 é o vetor A = (a, b, c), então os limites das funções x(t), y(t) e z(t) individualmente também são a, b e c, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos limites de funções vetoriais e das suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a curva alpha(t) tem um limite A = (a, b, c) quando t se aproxima de t0, isso significa que cada componente da curva também deve ter um limite correspondente. Ou seja, o limite do vetor alpha(t) é o vetor cujas componentes são os limites das funções x(t), y(t) e z(t).

Passo 3

Então, se temos:
limt t0 alpha(t) = A = (a, b, c)
Isso implica que:
limt t0 x(t) = a
limt t0 y(t) = b
limt t0 z(t) = c
Cada uma dessas igualdades vem do fato de que os limites das componentes individuais devem coincidir com as componentes do vetor limite.

Resposta

Portanto, se limt t0 alpha(t) = A, então:
limt t0 x(t) = a, limt t0 y(t) = b, e limt t0 z(t) = c

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