Mostre que alpha é contínua em t0 se, e somente se, lim t t0 alpha(t0+t)=alpha(t0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função alpha é contínua em um ponto t0 se e somente se o limite lim t t0 alpha(t0+t) for igual a alpha(t0). Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que alpha é contínua em t0 se o limite de alpha(t) quando t se aproxima de t0 for igual a alpha(t0). Em fórmula:
limt to t0 alpha(t) = alpha(t0)
Isso basicamente quer dizer que não tem “pulo” na função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dado na questão: lim t t0 alpha(t0+t). Aqui, em vez de olhar diretamente para alpha(t) quando t se aproxima de t0, estamos olhando para alpha(t0 + t) quando t se aproxima de t0.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar: vamos chamar h = t0 + t. Quando t to t0, então h to t0 + t0 = 2t0. Mas isso não está alinhado com a definição de continuidade que precisamos. Parece que houve um pequeno mal-entendido aqui.

Passo 5

Na verdade, para que o limite lim t t0 alpha(t0+t) faça sentido no contexto de continuidade em t0, devemos ajustar a interpretação. Vamos considerar que o limite está sendo tomado com t se aproximando de 0, ou seja, t to 0. Isso faz mais sentido, pois assim temos t0 + t to t0.

Passo 6

Com essa correção, o limite se torna:
lim t 0 alpha(t0+t) = alpha(t0)
Isso agora se alinha com a definição de continuidade: se ao fazer t se aproximar de 0, t0 + t se aproxima de t0, e a função alpha nesse ponto se comporta de forma contínua.

Passo 7

Portanto, mostramos que alpha ser contínua em t0 implica que:
lim t 0 alpha(t0+t) = alpha(t0)
E inversamente, se esse limite é igual a alpha(t0), então a função alpha é contínua em t0.

Resposta

Assim, provamos que alpha é contínua em t0 se, e somente se, lim t 0 alpha(t0+t) = alpha(t0).

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