Mostre que
é contínua em
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é contínua em um ponto
se e somente se o limite
for igual a
. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em fórmula:
Isso basicamente quer dizer que não tem “pulo” na função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dado na questão:
. Aqui, em vez de olhar diretamente para
quando
se aproxima de
, estamos olhando para
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar: vamos chamar
. Quando
, então
. Mas isso não está alinhado com a definição de continuidade que precisamos. Parece que houve um pequeno mal-entendido aqui.
Passo 5
Na verdade, para que o limite
faça sentido no contexto de continuidade em
, devemos ajustar a interpretação. Vamos considerar que o limite está sendo tomado com
se aproximando de 0, ou seja,
. Isso faz mais sentido, pois assim temos
.
Passo 6
Com essa correção, o limite se torna:
Isso agora se alinha com a definição de continuidade: se ao fazer
se aproximar de 0,
se aproxima de
, e a função
nesse ponto se comporta de forma contínua.
Passo 7
Portanto, mostramos que
ser contínua em
implica que:
E inversamente, se esse limite é igual a
, então a função
é contínua em
.
Resposta
Assim, provamos que
é contínua em
se, e somente se,
.