Mostre que a curva r(t)=(2 sen t, 2 cos t, 2 sen t) é plana e determine o plano em que ela está contida.

Passo 1

A curva paramétrica dada é r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 2 sen t). O objetivo é mostrar que ela é plana (i.e. existe um plano que contém todos os seus pontos) e encontrar a equação desse plano.

Passo 2

Lembremos que um plano em ℝ³ pode ser escrito na forma ax + by + cz + d = 0, e para a curva estar contida nesse plano, as coordenadas (x(t),y(t),z(t)) devem satisfazer essa equação para todo t.

Passo 3

Analisando r(t), vemos que as componentes x e z são iguais: x(t) = 2,sin t e z(t) = 2,sin t, logo x(t) - z(t) = 0 vale para todo t.

Passo 4

Portanto, todos os pontos da curva satisfazem x - z = 0, que é exatamente a equação de um plano de normal n = (1,0,-1).

Resposta

O plano que contém a curva é dado por x - z = 0.

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