Mostre que a curva
é plana e determine o plano em que ela está contida.
Passo 1
A curva paramétrica dada é r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 2 sen t). O objetivo é mostrar que ela é plana (i.e. existe um plano que contém todos os seus pontos) e encontrar a equação desse plano.
Passo 2
Lembremos que um plano em ℝ³ pode ser escrito na forma
, e para a curva estar contida nesse plano, as coordenadas
devem satisfazer essa equação para todo t.
Passo 3
Analisando r(t), vemos que as componentes x e z são iguais:
e
, logo
vale para todo t.
Passo 4
Portanto, todos os pontos da curva satisfazem
, que é exatamente a equação de um plano de normal
.
Resposta
O plano que contém a curva é dado por x - z = 0.