Mostre que, para d gg L, o módulo da força calculada no item (a) é aproximadamente Q q / 4 pi epsilon0 d^2. Explique o motivo deste resultado.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra mostrar que, quando a distância F approx Q,q4pivarepsilon0,d^2 entre uma carga pontual e uma barra carregada de comprimento é muito maior do que (ou seja, ), a força que você calculou no item (a) se reduz à forma famosona da Lei de Coulomb para duas cargas pontuais:
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb e expansão em série — binomial) e ideia de “campo de longo alcance” ou “aproximação de monopolo”.
O que vamos precisar:
  • A expressão exata da força que você obteve no item (a).
  • Fazer uma expansão para (usar binomial).
  • Interpretar fisicamente o resultado (monopolo).

Passo 2

Lembra que a gente já tinha achado, no item (a), a força sobre F(d) ;=; 14pivarepsilon0;Q,qL;l[1d-1d+Lr] apontando ao longo do eixo da barra de carga uniformemente distribuída (comprimento , eixo reto), algo como
Isso vem de dividir a barra em pedacinhos e integrar a contribuição . Até aí tudo certinho.

Passo 3

Agora, para 1d+L ;approx; 1d,11 + tfracLd ;approx; 1d,l(1 - tfracLdr) , tanto 1d - 1d+L ;approx; 1d - 1dl(1 - tfracLdr) ;=; 1d,Ld ;=; Ld^2 quanto são “grandões”, mas como é bem menor, podemos aproximar
usando a expansão binomial para .
Substituindo nessa diferença:

Passo 4

Agora encaixando de volta em F(d);approx;14pivarepsilon0;Q,qL;Ld^2 ;=; Q,q4pivarepsilon0,d^2 :
Show!
Física por trás: a barra, vista de muito longe, “parece” uma carga pontual de carga total . Esse é o monopolo: no campo longe, só vale a carga total, e você recupera a Lei de Coulomb.

Resposta

boxedF approx Q,q4pivarepsilon0,d^2quando dgg L

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