Mostre que se D é um subconjunto denso em BX e T in L(X, Y), então |T|= sup d in D|T(d)|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se Dsubset BX é denso no bolo unitário
xin X:|x|<=1 e TinL(X,Y) é um operador linear contínuo, então
|T| ;=;sup|x|<=1|T(x)|;=;supdin D|T(d)|
Vamos usar a definição de norma de operador e a densidade de D em BX.

Passo 2

Pela definição de norma de operador temos
|T| ;=;sup|x|<=1|T(x)|
Como Dsubset BX, claramente
supdin D|T(d)|;<=;sup|x|<=1|T(x)|;=;|T|

Passo 3

Para mostrar a desigualdade inversa, fixamos um ponto arbitrário xin BX.
Como D é denso em BX, dado varepsilon>0 existe din D com
|x-d|<varepsilon
Pela linearidade e continuidade de T vale
|T(x)-T(d)|;=;|T(x-d)|;<=;|T|;|x-d|;<;varepsilon,|T|

Passo 4

Então
|T(x)| ;<=; |T(d)|+|T(x)-T(d)| ;<=; |T(d)|+varepsilon,|T| ;<=; supdin D|T(d)|+varepsilon,|T|

Passo 5

Agora tomamos supremo em xin BX no lado esquerdo, obtendo
|T| ;<=; supdin D|T(d)|+varepsilon,|T|
Rearranjando,
|T|,(1-varepsilon);<=;supdin D|T(d)|
Como varepsilon>0 é arbitrário, fazemos varepsilonto0 e concluímos
|T|;<=;supdin D|T(d)|
Juntando com a desigualdade do Passo 2 segue a igualdade desejada.

Resposta

|T| = supdin D|T(d)|.

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