Mostre que se
é um subconjunto denso em
e
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é denso no bolo unitário
e
é um operador linear contínuo, então
Vamos usar a definição de norma de operador e a densidade de
em
.
Passo 2
Pela definição de norma de operador temos
Como
, claramente
Passo 3
Para mostrar a desigualdade inversa, fixamos um ponto arbitrário
.
Como é denso em
, dado
existe
com
Como
Pela linearidade e continuidade de
vale
Passo 4
Então
Passo 5
Agora tomamos supremo em
no lado esquerdo, obtendo
Rearranjando,
Como
é arbitrário, fazemos
e concluímos
Juntando com a desigualdade do Passo 2 segue a igualdade desejada.