Identifique e esboce o gráfico do conjunto dos pontos P(x, y, z) do R^3 descrito por:
x^2+4 z^2=1, y=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de pontos P(x,y,z)inR^3 que satisfazem simultaneamente
x^2+4z^2=1,
y=1
Estamos no conteúdo de superfícies quádricas em R^3 e suas interseções, e vamos identificar quais superfícies são e determinar a curva de interseção.

Passo 2

A equação
x^2+4z^2=1
é a de um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo Oy: para cada valor fixo de y, a seção em um plano paralelo a xz é uma elipse.

Passo 3

A equação
y=1
é o plano paralelo ao plano xz situado na “altura” y=1.

Passo 4

A interseção do cilindro com o plano é a curva obtida impondo y=1 na equação do cilindro, isto é,
x^2+4z^2=1, y=1

Passo 5

Reescrevendo
x^2+z^2(1/2)^2=1
vemos que se trata de uma elipse com semi-eixo maior a=1 na direção de Ox e semi-eixo menor b=tfrac12 na direção de Oz.

Passo 6

No esboço, desenhe o plano y=1 paralelo ao plano xz e, nesse plano, trace a elipse centrada em (0,1,0) com eixos de comprimentos 2a=2 em x e 2b=1 em z.

Resposta

O conjunto dos pontos é uma elipse no plano y=1 descrita por
x^2+4z^2=1,
com semi-eixo maior a=1 na direção de Ox e semi-eixo menor b=tfrac12 na direção de Oz.

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