Verifique que uma aplicação linear entre espaços normados é contínua se, e somente se, é limitada em alguma bola.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma aplicação linear Tcolon Eto F entre espaços normados, vale
T é contínua Long<=ftrightarrow exists r>0:;sup|x|<= r|T(x)|<+infty éí
Vamos usar que, em espaços normados, linearidade + continuidade em um ponto (por exemplo 0) implica continuidade em todo lugar, e que limitar T em uma bola significa justamente mostrar que existe uma constante finita que controla |T(x)| nessa bola.

Passo 2

Suponha T contínua. Então T é contínua em 0, de modo que existe de<a>0 tal que
|x|<de<a Longrightarrow |T(x)|<1
Logo, para a bola B(0,de<a)=xcolon|x|<=de<a temos
sup|x|<=de<a|T(x)|<=1<+infty,
ou seja, T é limitada em B(0,de<a).

Passo 3

Agora suponha que existe r>0 e M<+infty tais que
|x|<= r Longrightarrow |T(x)|<= M
Dado xin E, se x=0 nada há a provar. Se xneq0, defina
y=r|x|,x,
que satisfaz |y|=r, logo |T(y)|<= M. Pela linearidade,
T(x) =|x|r,T(y) Longrightarrow |T(x)| =|x|r,|T(y)| <=|x|r,M
Assim, dado varepsilon>0, basta escolher
de<a=rM,varepsilon para ter
|x|<de<aimplies|T(x)|<varepsilon. Isso mostra que T é contínua em 0, e portanto contínua em todo E.

Passo 4

Reunindo os dois lados da implicação, concluímos que
T é contínua Long<=ftrightarrow exists r>0:;sup|x|<= r|T(x)|<+infty éí

Resposta

Uma aplicação linear Tcolon Eto F entre espaços normados é contínua se, e somente se, existe uma bola de raio r>0 em E tal que
sup|x|<= r|T(x)|<+infty

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