Verifique que uma aplicação linear entre espaços normados é contínua se, e somente se, é limitada em alguma bola.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma aplicação linear
entre espaços normados, vale
Vamos usar que, em espaços normados, linearidade
continuidade em um ponto (por exemplo
) implica continuidade em todo lugar, e que limitar
em uma bola significa justamente mostrar que existe uma constante finita que controla
nessa bola.
Passo 2
Suponha
contínua. Então
é contínua em
, de modo que existe
tal que
Logo, para a bola
temos
ou seja,
é limitada em
.
Passo 3
Agora suponha que existe
e
tais que
Dado
, se
nada há a provar. Se
, defina
que satisfaz
, logo
. Pela linearidade,
Assim, dado
, basta escolher
para ter
. Isso mostra que
é contínua em
, e portanto contínua em todo
.
Passo 4
Reunindo os dois lados da implicação, concluímos que
Resposta
Uma aplicação linear
entre espaços normados é contínua se, e somente se, existe uma bola de raio
em
tal que