- A superfície de revolução
, gerada pela rotação da circunferência
, em torno do eixo
, recebe o nome de Toro de Revolução. Encontre a equação de
e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a superfície de revolução
obtida ao girar a circunferência
em torno do eixo
. O conteúdo é construir a equação implícita de um toro de revolução, sabendo que cada ponto mantêm a coordenada
e a distância ao eixo
gira formando um círculo.
Passo 2
Vamos escrever a circunferência em forma centrada. Em
agrupamos
:
Logo é um círculo de centro
e raio
no plano
.
Passo 3
Ao girar esse círculo em torno do eixo
, a abscissa
fica inalterada e a distância do ponto
ao eixo
é
Para que
pertença a
, o par
deve satisfazer a equação do círculo gerador deslocado em
unidades na direção positiva de
:
Passo 4
Substituindo
obtemos a forma com raiz:
Passo 5
Para ter uma equação polinomial eliminamos a raiz:
) Expandindo,
Esta é a equação implícita quartica do toro de revolução.
Resposta
Equação de
:
equivalentemente
Esboço do gráfico: um “donut” com raio maior
(distância do centro do tubo ao eixo
) e raio do tubo
, simetricamente em torno do eixo
.