1. A superfície de revolução S, gerada pela rotação da circunferência g: x^2+y^2-4 y+3=0, z=0, em torno do eixo x, recebe o nome de Toro de Revolução. Encontre a equação de S e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a superfície de revolução S obtida ao girar a circunferência
g:;x^2+y^2-4y+3=0, z=0
em torno do eixo x. O conteúdo é construir a equação implícita de um toro de revolução, sabendo que cada ponto mantêm a coordenada x e a distância ao eixo x gira formando um círculo.

Passo 2

Vamos escrever a circunferência em forma centrada. Em g agrupamos y:
x^2 + l(y^2 -4yr) + 3 = 0 ;Longrightarrow; x^2 + (y-2)^2 -4 +3 = 0 ;Longrightarrow; x^2 + (y-2)^2 = 1
Logo é um círculo de centro (0,2,0) e raio 1 no plano z=0.

Passo 3

Ao girar esse círculo em torno do eixo x, a abscissa x fica inalterada e a distância do ponto (x,y,z) ao eixo x é
rho = raizy^2+z^2
Para que (x,y,z) pertença a S, o par l(x,rhor) deve satisfazer a equação do círculo gerador deslocado em 2 unidades na direção positiva de y:
x^2 + (rho - 2)^2 = 1

Passo 4

Substituindo rho = raizy^2+z^2 obtemos a forma com raiz:
x^2 + l(raizy^2+z^2 - 2r)^2 = 1

Passo 5

Para ter uma equação polinomial eliminamos a raiz:
1) Expandindo,
x^2 + (y^2+z^2) -4raizy^2+z^2 +4 = 1 ;Longrightarrow; x^2 + y^2+z^2 +3 = 4raizy^2+z^2
2) Elevando de novo ao quadrado,
l(x^2 + y^2+z^2 +3r)^2 = 16,(y^2+z^2)
Esta é a equação implícita quartica do toro de revolução.

Resposta

Equação de S:
x^2 + l(raizy^2+z^2-2r)^2 = 1
equivalentemente
l(x^2 + y^2 + z^2 +3r)^2 = 16,(y^2+z^2)
Esboço do gráfico: um “donut” com raio maior R=2 (distância do centro do tubo ao eixo x) e raio do tubo r=1, simetricamente em torno do eixo x.

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