Mostre que, dada f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, as correspondentes funções f_{+}e f_{-}, definidas por f_{+}=f(x), se f(x) \geq 0 e f_{+}(x)=0, se f(x)<0, assim como f_{-}(x)=f(x), se f(x) \leq 0 e f_{-}(x)=0, se f(x)>0, são obtidas diretamente das fórmulas
f_{+}(x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|) \text { e } f_{-}(x)=\frac{1}{2}(f(x)-|f(x)|)
Conclua que, se f for contínua, então f_{+}e f_{-}são contínuas.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:[a,b]\to\mathbb{R}\) e define duas funções auxiliares por partes: \[\text{(i)}\quad f_{+}(x)=\begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{se } f(x)<0, \end{cases} \qquad \text{(ii)}\quad f_{-}(x)=\begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)\le 0,\\[4pt] 0, & \text{se } f(x)>0. \end{cases}
O que nos pedem:
  • Mostrar que as expressões acima são obtidas diretamente das fórmulas
f_{+}(x)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr) \quad\text{e}\quad f_{-}(x)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr).
  • Concluir que, se f\] for contínua, então \(f_{+} e f_{-} são contínuas.
As informações relevantes que temos: a definição por partes de f_{+} e f_{-} acima, e a fórmula do valor absoluto para um número real t:
|t|=\begin{cases} t,& t\ge 0,\\\\ -t,& t<0.\end{cases}]

Passo 2

Vamos recordar a propriedade básica do valor absoluto aplicada a f(x). Para cada x\in[a,b] vale:
|f(x)|=\begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)\ge 0,\\[4pt] -f(x), & \text{se } f(x)<0. \end{cases}
Isto é verdade porque o valor absoluto devolve a magnitude sem sinal: se o número já é não negativo, fica igual; se é negativo, troca o sinal.]

Passo 3

Agora calculemos a expressão \dfrac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr) caso a caso.
Caso 1: se f(x)\ge 0. Pela identidade do valor absoluto temos |f(x)|=f(x). Então
\frac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)+f(x)\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2f(x)=f(x).
Isso coincide com a definição por partes de f_{+}(x) para f(x)\ge 0.
Caso 2: se f(x)<0. Agora |f(x)|=-f(x). Portanto
\frac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)-f(x)\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 0=0.
Isso coincide com a definição por partes de f_{+}(x) para f(x)<0.
No caso limite f(x)=0 ambas as expressões dão 0 (pela primeira linha do Caso 1 já vimos que dá f(x)=0), então está tudo consistente.

Passo 4

Concluímos, portanto, que para todo x\in[a,b] vale
f_{+}(x)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr).
Isso prova a primeira fórmula pedida.

Passo 5

Façamos o mesmo para \dfrac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr).
Caso 1: se f(x)\le 0. Se f(x)<0 então |f(x)|=-f(x) e, se f(x)=0 então |f(x)|=0. Em ambos os subcasos temos
\frac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)-(-f(x))\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2f(x)=f(x).
(Isto inclui o subcaso f(x)=0: fica 0.)
Caso 2: se f(x)>0. Então |f(x)|=f(x) e
\frac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)-f(x)\bigr)=0,
que coincide com a definição de f_{-}(x) quando f(x)>0.
Logo, para todo x vale
f_{-}(x)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr).

Passo 6

Passamos à parte da continuidade. Primeiro, o que precisamos usar (de forma direta e intuitiva): operações simples preservam continuidade. Mais especificamente:
  • Se g e h são contínuas em um ponto x_{0}, então g+h e g-h são contínuas em x_{0}.
  • Se g é contínua em x_{0} e c é constante, então c\cdot g é contínua em x_{0}.
  • Se g é contínua em x_{0} e \varphi é contínua em g(x_{0}), então \varphi\circ g é contínua em x_{0} (continuidade por composição).
Vou justificar rapidamente por que |\cdot| é contínua (é útil depois): para quaisquer números reais u,v vale a desigualdade
\bigl||u|-|v|\bigr|\le |u-v|.
Uma prova curta: usando a desigualdade triangular,
|u|=|u-v+v|\le |u-v|+|v|\quad\Rightarrow\quad |u|-|v|\le |u-v|.
Trocando u e v obtemos |v|-|u|\le |v-u|=|u-v|. Juntando as duas desigualdades segue \bigl||u|-|v|\bigr|\le |u-v|. Isso mostra que a aplicação t\mapsto |t| é Lipschitz (com constante 1) e portanto contínua em todo ponto.

Passo 7

Agora aplicamos isso ao nosso caso: se f é contínua em x_{0}, então por composição |f| = |\cdot|\circ f é contínua em x_{0}. Como f e |f| são contínuas em x_{0}, suas somas, diferenças e multiplicações por constantes são contínuas em x_{0}. Em particular:
f_{+}(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr) \quad\text{e}\quad f_{-}(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr)
são combinações lineares de f e |f| com constante \tfrac{1}{2}, logo são contínuas em x_{0}. Como x_{0} era um ponto arbitrário de [a,b], isso mostra que f_{+} e f_{-} são contínuas em todo [a,b].

Resposta

f_{+}(x)=\dfrac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr) e f_{-}(x)=\dfrac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr).\nSe f for contínua então f_{+} e f_{-} são contínuas.

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