Mostre que, dada f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, as correspondentes funções f_{+}e f_{-}, definidas por f_{+}=f(x), se f(x) \geq 0 e f_{+}(x)=0, se f(x)<0, assim como f_{-}(x)=f(x), se f(x) \leq 0 e f_{-}(x)=0, se f(x)>0, são obtidas diretamente das fórmulas
f_{+}(x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|) \text { e } f_{-}(x)=\frac{1}{2}(f(x)-|f(x)|)
Conclua que, se f for contínua, então f_{+}e f_{-}são contínuas.
Passo 1
O enunciado dá uma função f:[a,b]\to\mathbb{R}\) e define duas funções auxiliares por partes:
\[\text{(i)}\quad f_{+}(x)=\begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{se } f(x)<0, \end{cases} \qquad \text{(ii)}\quad f_{-}(x)=\begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)\le 0,\\[4pt] 0, & \text{se } f(x)>0. \end{cases}
O que nos pedem:
Mostrar que as expressões acima são obtidas diretamente das fórmulas
que coincide com a definição de f_{-}(x) quando f(x)>0.
Logo, para todo x vale
f_{-}(x)=\frac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr).
Passo 6
Passamos à parte da continuidade. Primeiro, o que precisamos usar (de forma direta e intuitiva): operações simples preservam continuidade. Mais especificamente:
Se g e h são contínuas em um ponto x_{0}, então g+h e g-h são contínuas em x_{0}.
Se g é contínua em x_{0} e c é constante, então c\cdot g é contínua em x_{0}.
Se g é contínua em x_{0} e \varphi é contínua em g(x_{0}), então \varphi\circ g é contínua em x_{0} (continuidade por composição).
Vou justificar rapidamente por que |\cdot| é contínua (é útil depois): para quaisquer números reais u,v vale a desigualdade
\bigl||u|-|v|\bigr|\le |u-v|.
Uma prova curta: usando a desigualdade triangular,
Trocando u e v obtemos |v|-|u|\le |v-u|=|u-v|. Juntando as duas desigualdades segue \bigl||u|-|v|\bigr|\le |u-v|. Isso mostra que a aplicação t\mapsto |t| é Lipschitz (com constante 1) e portanto contínua em todo ponto.
Passo 7
Agora aplicamos isso ao nosso caso: se f é contínua em x_{0}, então por composição |f| = |\cdot|\circ f é contínua em x_{0}. Como f e |f| são contínuas em x_{0}, suas somas, diferenças e multiplicações por constantes são contínuas em x_{0}. Em particular:
são combinações lineares de f e |f| com constante \tfrac{1}{2}, logo são contínuas em x_{0}. Como x_{0} era um ponto arbitrário de [a,b], isso mostra que f_{+} e f_{-} são contínuas em todo [a,b].
Resposta
f_{+}(x)=\dfrac{1}{2}\bigl(f(x)+|f(x)|\bigr) e f_{-}(x)=\dfrac{1}{2}\bigl(f(x)-|f(x)|\bigr).\nSe f for contínua então f_{+} e f_{-} são contínuas.