Mostre que, se f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} são funções contínuas tais que f(x) \geq g(x) \geq 0, para todo x \in[a, b], então
\int_{a}^{b} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} g(x) d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
Dado: f,g:[a,b]\to\mathbb{R} são funções contínuas tais que, para todo x\in[a,b],
f(x)\ge g(x)\ge 0.
Pede-se provar que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge \int_{a}^{b} g(x)\,dx.

Passo 2

Forma conveniente de trabalhar: defina a função diferença
h(x)=f(x)-g(x).
Explicação do porquê essa é uma boa ideia e propriedades básicas: a diferença de duas funções contínuas é contínua, então h é contínua em [a,b]. Além disso, como f(x)\ge g(x) para todo x, temos
h(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Então o problema reduz-se a mostrar que a integral de h é não negativa, porque
\int_a^b h(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx
pela linearidade da integral (propriedade que diz que \int(\varphi+\psi)=\int\varphi+\int\psi e \int c\varphi = c\int\varphi para constantes c).

Passo 3

Usar o teorema do valor extremo: como h é contínua em [a,b] (um intervalo fechado e limitado), o teorema do valor extremo garante que h atinge mínimo e máximo no intervalo. Defina
m=\min_{x\in[a,b]} h(x).
Como h(x)\ge 0 para todo x, segue que m\ge 0.
Observação didática curta: o teorema do valor extremo afirma que uma função contínua em um intervalo fechado atinge seu menor e maior valores nesse intervalo; é por isso que podemos falar em \min h e ele existe.

Passo 4

Compare h com a constante m. Pela definição de m temos
h(x)\ge m\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Subtraindo m de ambos os lados obtemos
h(x)-m \ge 0\quad\text{para todo }x\in[a,b].
A função constante m é integrável e a integral de uma constante é simples de calcular:
\int_a^b m\,dx = m(b-a).
Também use que a integral é linear, então
\int_a^b h(x)\,dx = \int_a^b\bigl(h(x)-m\bigr)\,dx + \int_a^b m\,dx.

Passo 5

Mostre que \int_a^b\bigl(h(x)-m\bigr)\,dx \ge 0. Razão: h-m é contínua (diferença de contínuas) e satisfa z h(x)-m\ge 0 para todo x. Seja m_1=\min_{x\in[a,b]}\bigl(h(x)-m\bigr). Pelo item anterior sabemos que m_1\ge 0, mas além disso, pela escolha de m temos na verdade m_1=0. Para qualquer função contínua k em [a,b] com k(x)\ge m_k em todo o intervalo, vale
\int_a^b k(x)\,dx \ge m_k(b-a),
porque k(x)\ge m_k implica integrar ambos os lados (ou pensar em somas inferiores) e usar \int_a^b m_k\,dx = m_k(b-a). Aplicando com k=h-m e m_k=0 obtemos
\int_a^b\bigl(h(x)-m\bigr)\,dx \ge 0.

Passo 6

Combine os resultados anteriores. Pela decomposição do Passo 4 e pela não negatividade do Passo 5,
\int_a^b h(x)\,dx = \int_a^b\bigl(h(x)-m\bigr)\,dx + m(b-a) \ge 0 + m(b-a)\ge 0.
Portanto \int_a^b h(x)\,dx \ge 0. Lembre que h=f-g, então pela linearidade da integral
\int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b h(x)\,dx \ge 0.
Isolando,
\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge \int_{a}^{b} g(x)\,dx

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