Mostre que, se
são funções contínuas tais que
, para todo
, então
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dado: são funções contínuas tais que, para todo
,
Dado:
Pede-se provar que
Passo 2
Forma conveniente de trabalhar: defina a função diferença
Explicação do porquê essa é uma boa ideia e propriedades básicas: a diferença de duas funções contínuas é contínua, então
é contínua em
. Além disso, como
para todo
, temos
Então o problema reduz-se a mostrar que a integral de
é não negativa, porque
pela linearidade da integral (propriedade que diz que
e
para constantes
).
Passo 3
Usar o teorema do valor extremo: como
é contínua em
(um intervalo fechado e limitado), o teorema do valor extremo garante que
atinge mínimo e máximo no intervalo. Defina
Como
para todo
, segue que
.
Observação didática curta: o teorema do valor extremo afirma que uma função contínua em um intervalo fechado atinge seu menor e maior valores nesse intervalo; é por isso que podemos falar em
e ele existe.
Passo 4
Compare
com a constante
. Pela definição de
temos
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
A função constante
é integrável e a integral de uma constante é simples de calcular:
Também use que a integral é linear, então
Passo 5
Mostre que
. Razão:
é contínua (diferença de contínuas) e satisfa z
para todo
. Seja
. Pelo item anterior sabemos que
, mas além disso, pela escolha de
temos na verdade
. Para qualquer função contínua
em
com
em todo o intervalo, vale
porque
implica integrar ambos os lados (ou pensar em somas inferiores) e usar
. Aplicando com
e
obtemos
Passo 6
Combine os resultados anteriores. Pela decomposição do Passo 4 e pela não negatividade do Passo 5,
Portanto
. Lembre que
, então pela linearidade da integral
Isolando,