Sejam
e
vetores no plano. Mostre a identidade
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para quaisquer vetores
, a identidade
O conteúdo usado será o produto interno no plano, a definição de norma via produto interno e as propriedades de bilinearidade e simetria desse produto.
Passo 2
Lembramos que, em
, a norma ao quadrado de um vetor
é dada por
e que o produto interno satisfaz
- bilinearidade:
, - simetria:
.
Passo 3
Vamos calcular cada termo do lado direito em função do produto interno:
Passo 4
Somando as duas expressões, os termos cruzados cancelam:
Como
e
, segue
Resposta
A identidade está demonstrada: