Sejam u e v vetores no plano. Mostre a identidade
2(|u|^2+|v|^2)=|u+v|^2+|u-v|^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para quaisquer vetores u,vinR^2, a identidade
2l(|u|^2+|v|^2r)=|u+v|^2+|u-v|^2
O conteúdo usado será o produto interno no plano, a definição de norma via produto interno e as propriedades de bilinearidade e simetria desse produto.

Passo 2

Lembramos que, em R^2, a norma ao quadrado de um vetor w é dada por
|w|^2 = lang<= w, wrang<=
e que o produto interno satisfaz
  • bilinearidade: lang<= a x + b y, zrang<= = alang<= x,zrang<= + blang<= y,zrang<=,
  • simetria: lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=.

Passo 3

Vamos calcular cada termo do lado direito em função do produto interno:
|u+v|^2 = lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,urang<= + 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=,
|u-v|^2 = lang<= u-v,,u-vrang<= = lang<= u,urang<= - 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=

Passo 4

Somando as duas expressões, os termos cruzados cancelam:
|u+v|^2 + |u-v|^2 = l(lang<= u,urang<= + 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=r) + l(lang<= u,urang<= - 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=r) = 2lang<= u,urang<= + 2lang<= v,vrang<=
Como lang<= u,urang<==|u|^2 e lang<= v,vrang<==|v|^2, segue
|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2l(|u|^2+|v|^2r)

Resposta

A identidade está demonstrada:
2l(|u|^2+|v|^2r)=|u+v|^2+|u-v|^2

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