Mostre que dado x, y \in \mathbb{R}^{+}, x<y se, e somente se, y^{-1}<x^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para x,y\in\mathbb{R}^+, vale
x<y\quad\text{se, e somente se,}\quad y^{-1}<x^{-1}.
O conteúdo usado será a propriedade de que, ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número positivo, o sentido da desigualdade não se inverte.

Passo 2

Suponha que x<y. Como x>0, podemos multiplicar ambos os lados de x<y por x^{-1} sem mudar o sentido:
1 < y\,x^{-1}.
Agora, como y^{-1}>0, multiplicamos essa desigualdade por y^{-1} e obtemos
y^{-1} < x^{-1}.

Passo 3

Suponha agora que y^{-1}<x^{-1}. Primeiro multiplicamos ambos os lados por y>0:
1 < y\,x^{-1}.
Em seguida, multiplicamos por x>0 e ficamos com
x < y.

Resposta

Concluímos que, para x,y\in\mathbb{R}^+,
x<y\quad\Longleftrightarrow\quad y^{-1}<x^{-1}.

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