Prove as seguintes afirmações:
Se x \in \mathbb{R}^{+}e y \in \mathbb{R}^{-}, então x y \in \mathbb{R}^{-}.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dados \;x\in\mathbb{R}^+ (ou seja, x>0) e \;y\in\mathbb{R}^- (ou seja, y<0), então o produto xy também é negativo, isto é, xy\in\mathbb{R}^-.
O conteúdo principal é a propriedade de desigualdades nos reais que diz: se a<b e c>0, então ac<bc.

Passo 2

Como y<0 e x>0, aplicamos a propriedade de multiplicação de desigualdades por um número positivo:
y < 0 \quad\text{e}\quad x > 0 \;\Longrightarrow\; x\cdot y < x\cdot 0.
Mas x\cdot 0 = 0, logo
x\,y < 0,
o que significa que xy é negativo.

Resposta

Como xy<0, concluímos que xy\in\mathbb{R}^-, conforme desejado.

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