Prove as seguintes afirmações:
Se x, y \in \mathbb{R}^{-}, então x y \in \mathbb{R}^{+}.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer mostrar que, se x e y são negativos (isto é, x,y\in\mathbb{R}^-), então o produto x\,y é positivo (ou seja, x\,y\in\mathbb{R}^+). Vamos usar os axiomas de ordem dos reais e a regra de sinais.

Passo 2

Como x\in\mathbb{R}^-, temos x<0.
Pela propriedade de ordem, multiplicar ambos os lados por -1 (que é negativo) inverte o sinal, então
-\,x>0,
ou seja, -x\in\mathbb{R}^+.

Passo 3

De modo análogo, como y\in\mathbb{R}^- implica y<0, multiplicando por -1 obtemos
-\,y>0,
logo -y\in\mathbb{R}^+.

Passo 4

Agora, pela propriedade de fechamento de \mathbb{R}^+, o produto de dois números positivos é positivo. Como -x>0 e -y>0, segue que
(-x)(-y)>0.

Passo 5

Resta usar a regra de sinais no corpo dos reais:
(-x)(-y)=x\,y.
Portanto x\,y>0, isto é, x\,y\in\mathbb{R}^+.

Resposta

x\,y\in\mathbb{R}^+.

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