Prove as seguintes afirmações:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado quer mostrar que, se
e
são negativos (isto é,
), então o produto
é positivo (ou seja,
). Vamos usar os axiomas de ordem dos reais e a regra de sinais.
Passo 2
Como
, temos
Pela propriedade de ordem, multiplicar ambos os lados por (que é negativo) inverte o sinal, então
Pela propriedade de ordem, multiplicar ambos os lados por
ou seja,
.
Passo 3
De modo análogo, como
implica
, multiplicando por
obtemos
logo
.
Passo 4
Agora, pela propriedade de fechamento de
, o produto de dois números positivos é positivo. Como
e
, segue que
Passo 5
Resta usar a regra de sinais no corpo dos reais:
Portanto
, isto é,
.