Mostre pela definição que:
lim x 0^+ 1x^3=+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite infinito, que
limxto0^+1x^3=+infty
Isto é conteúdo de limites e usamos a definição de “limite que tende a +infty” no ponto 0 pela direita.

Passo 2

A definição diz: devemos provar que, para todo M>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
0<x<de<a,
tenha-se
1x^3>M

Passo 3

Partimos da desigualdade
1x^3>M
que equivale a
x^3<1M Long<=ftrightarrow x<l(tfrac1Mr)^!1/3

Passo 4

Logo, dado um M>0, basta escolher
de<a = l(tfrac1Mr)^!1/3
Como de<a>0, sempre que 0<x<de<a teremos x<de<a, o que implica 1/x^3>M. Isso satisfaz a definição de limite infinito.

Resposta

limxto0^+1x^3=+infty

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