Mostre, pela definição, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a} x^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição ε–δ de limite, que
\lim_{x\to a} x^2 = a^2.
O conteúdo aqui é a definição de limite de função real: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta ocorra |x^2 - a^2|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos escrevendo a condição que queremos satisfazer:
|x^2 - a^2|<\varepsilon.
Observe que podemos fatorar a diferença de quadrados:
|x^2 - a^2| = |x-a|\;|x+a|.
Logo, precisamos controlar o produto |x-a|\cdot|x+a|.

Passo 3

Para limitar |x+a|, imponha uma condição adicional sobre |x-a|. Por exemplo, escolha \delta\le1. Então, sempre que 0<|x-a|<\delta\le1, temos
|x - a|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x| \le |a| + |x-a| < |a| + 1.
Assim
|x+a|\le |x| + |a| < (|a| + 1) + |a| = 2|a| + 1.

Passo 4

Com essa estimativa de |x+a|, voltamos a |x^2 - a^2|:
|x^2 - a^2| = |x-a|\;|x+a| < |x-a|\;(2|a| + 1).
Para garantir |x^2 - a^2|<\varepsilon, basta exigir
|x-a|\;(2|a| + 1) < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a| + 1}.

Passo 5

Logo, escolhemos
\delta = \min\!\Bigl(1,\,\frac{\varepsilon}{2|a| + 1}\Bigr).
Então, sempre que 0<|x-a|<\delta, valem simultaneamente as duas condições:
  1. |x-a|<1, o que nos deu |x+a|<2|a|+1,
  2. |x-a|<\varepsilon/(2|a|+1), garantindo |x-a|\,(2|a|+1)<\varepsilon.
    Combinando, obtemos |x^2 - a^2|<\varepsilon, como queríamos.

Resposta

Portanto, pela definição ε–δ, concluímos que
\lim_{x\to a} x^2 = a^2.

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