Mostre, pela definição, os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição ε–δ de limite, que
O conteúdo aqui é a definição de limite de função real: dado
, precisamos encontrar
tal que sempre que
ocorra
.
Passo 2
Começamos escrevendo a condição que queremos satisfazer:
Observe que podemos fatorar a diferença de quadrados:
Logo, precisamos controlar o produto
.
Passo 3
Para limitar
, imponha uma condição adicional sobre
. Por exemplo, escolha
. Então, sempre que
, temos
Assim
Passo 4
Com essa estimativa de
, voltamos a
:
Para garantir
, basta exigir
Passo 5
Logo, escolhemos
Então, sempre que
, valem simultaneamente as duas condições:
-
, o que nos deu , -
, garantindo .
Combinando, obtemos, como queríamos.
Resposta
Portanto, pela definição ε–δ, concluímos que