Seja f(x)=|x-2|\left(\frac{x-1}{x-2}\right). Existe o \lim _{x \rightarrow 2} f(x) ? Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\lvert x-2\rvert\;\frac{x-1}{x-2}
e pede o limite \lim_{x\to2}f(x) e o esboço do gráfico. O conteúdo é estudo de limites e análise de função definida por valor absoluto (ou seja, por pedaços).

Passo 2

Vamos reescrever \lvert x-2\rvert como função por pedaços:
  • Se x>2, então \lvert x-2\rvert=x-2.
  • Se x<2, então \lvert x-2\rvert=2-x.
    Note que f não está definida em x=2 porque o denominador x-2 ficaria zero.

Passo 3

Para x>2:
f(x)=(x-2)\;\frac{x-1}{x-2}=x-1.
Para x<2:
f(x)=(2-x)\;\frac{x-1}{x-2} =-(x-1).

Passo 4

Agora calculamos as duas fichas do limite em x=2:
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(x-1)=2-1=1,
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}\bigl(-(x-1)\bigr)=-(2-1)=-1.
Como os limites laterais são diferentes, \lim_{x\to2}f(x) não existe.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de f:
  • No trecho x<2, f(x)=-(x-1) é uma reta de coeficiente angular -1 e intercepto em y=1. Em x=2 há um furo em y=-1.
  • No trecho x>2, f(x)=x-1 é uma reta de coeficiente angular 1 e intercepto em y=-1. Em x=2 há um furo em y=1.
    Não existe ponto em x=2, e as duas semirretas separam-se num “salto” entre -1 e 1.

Resposta

Não existe o limite \lim_{x\to2}f(x). O gráfico é formado por duas semirretas com furos em x=2, conforme descrito acima.

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