Estude a função abaixo, determinando raízes, vértices, pontos de intersecção com os eixos e o conjunto imágem.
f(x)=(3-x)(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função quadrática
f(x) = (3 - x)(x + 1)
determinando suas raízes, o vértice da parábola, os pontos de interseção com os eixos x e y e o conjunto imagem. Para isso vamos usar fatoração, forma padrão de uma quadrática e cálculo de vértice por -\tfrac{b}{2a}.

Passo 2

Para encontrar as raízes, igualamos f(x) a zero e fatoramos:
f(x) = (3 - x)(x + 1) = 0
Isso ocorre se 3 - x = 0 ou x + 1 = 0. Logo,
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -1.

Passo 3

O ponto de interseção com o eixo y é dado por f(0):
f(0) = (3 - 0)\,(0 + 1) = 3.
Portanto, a parábola cruza o eixo y no ponto (0,3).

Passo 4

Vamos passar f(x) para a forma padrão ax^2 + bx + c. Expandindo:
f(x) = (3 - x)(x + 1) = -x^2 + 2x + 3.
Aqui a = -1, b = 2, c = 3. O vértice (x_v,y_v) satisfaz
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1.
E
y_v = f(1) = -(1)^2 + 2\cdot1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
Logo o vértice é (1,4). Como a<0, a parábola é côncava para baixo e assume valor máximo em y_v = 4.

Passo 5

O domínio de f é todo \mathbb{R}. Como a parábola abre para baixo, seu conjunto imagem é
\{\,y \mid y \le 4\} = (-\infty,\,4].

Resposta

As raízes da função são x = 3 e x = -1.
O vértice da parábola é (1,4).
A interseção com o eixo x ocorre nos pontos (3,0) e (-1,0).
A interseção com o eixo y é o ponto (0,3).
O conjunto imagem é (-\infty,\,4].

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