Mostre, pela definiçĭlo, que as funçठ̄es abaixo sảo diferenciáveis em R^2.
b) f(x, y)=x y;

Passo 1

Temos a função f(x,y)=xy. Queremos mostrar que ela é diferenciável em R^2 pela definição: para isso, precisamos encontrar em cada ponto (x,y) um mapeamento linear ell tal que
f(x+h,y+k)-f(x,y)=ell(h,k)+ol(|(h,k)|r)

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Pela definição de derivada parcial:
partial fpartial x(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h=limhto0(x+h)y-xyh=y
e similarmente
partial fpartial y(x,y)=x
Com isso, o palpite para o mapeamento linear que aproxima f em (x,y) é
ell(h,k)=y,h + x,k

Passo 3

Agora, calculamos o incremento de f ao variar (x,y) para (x+h,y+k):
f(x+h,y+k)-f(x,y)=(x+h)(y+k)-xy=yh + xk + hk

Passo 4

A parte linear proposta é ell(h,k)=yh + xk. Logo, o restante (erro) é
R(h,k)=[f(x+h,y+k)-f(x,y)]-ell(h,k)=hk

Passo 5

Para mostrar que R(h,k) é pequeno em relação a |(h,k)|, notamos que
|hk|<=tfrac12(h^2+k^2)=tfrac12| (h,k)|^2
Assim,
|R(h,k)||(h,k)|<=tfrac12|(h,k)|to0quando (h,k)to(0,0)

Passo 6

Como encontramos um ell(h,k)=yh + xk que satisfaz
f(x+h,y+k)-f(x,y)=ell(h,k)+ol(|(h,k)|r),
concluímos que f é diferenciável em R^2.

Resposta

A função f(x,y)=xy é diferenciável em R^2 e seu diferencial em (x,y) é dado por df(x,y)(h,k)=y,h + x,k.

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