Mostre, pela definiçĭlo, que as funçठ̄es abaixo sảo diferenciáveis em
.
b)
;
b)
Passo 1
Temos a função
. Queremos mostrar que ela é diferenciável em
pela definição: para isso, precisamos encontrar em cada ponto
um mapeamento linear
tal que
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
. Pela definição de derivada parcial:
e similarmente
Com isso, o palpite para o mapeamento linear que aproxima
em
é
Passo 3
Agora, calculamos o incremento de
ao variar
para
:
Passo 4
A parte linear proposta é
. Logo, o restante (erro) é
Passo 5
Para mostrar que
é pequeno em relação a
, notamos que
Assim,
Passo 6
Como encontramos um
que satisfaz
concluímos que
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
e seu diferencial em
é dado por
.