1. Mostre que lim h 0 R(h)h=0 se e somente se lim h 0 R(h)|h|=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a condição limhto0 R(h)h=0 é equivalente a limhto0 R(h)|h|=0. Isso envolve limites de funções que diferem apenas por um fator de sinal, e vamos usar a propriedade de que, se uma função tende a zero e é multiplicada por outra limitada, o produto também tende a zero.

Passo 2

Suponha primeiro que limhto0 R(h)h=0. Observe que podemos escrever
[
\frac{R(h)}{|h|}=\frac{R(h)}{h}\cdot\frac{h}{|h|}
]
O termo h|h| é a função sinal de h, que só assume os valores pm1. Logo ele é limitado. Como R(h)hto0 por hipótese e o outro fator é limitado, pelo teorema do produto de limites temos
[
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{|h|}=0
]

Passo 3

Agora suponha que limhto0 R(h)|h|=0. De modo análogo escrevemos
[
\frac{R(h)}{h}=\frac{R(h)}{|h|}\cdot\frac{|h|}{h}
]
O fator |h|h também vale pm1 e, portanto, é limitado. Como R(h)|h|to0 por hipótese, pelo mesmo argumento do produto chegamos a
[
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{h}=0
]

Passo 4

Assim demonstramos as duas implicações, provando a equivalência desejada.

Resposta

As duas condições são equivalentes porque cada quociente difere do outro apenas por um fator de sinal (que é limitado), e o produto de algo que tende a zero por algo limitado também tende a zero.

Exercícios relacionados