- Mostre que
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a condição
é equivalente a
. Isso envolve limites de funções que diferem apenas por um fator de sinal, e vamos usar a propriedade de que, se uma função tende a zero e é multiplicada por outra limitada, o produto também tende a zero.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Observe que podemos escrever
[
\frac{R(h)}{|h|}=\frac{R(h)}{h}\cdot\frac{h}{|h|}
]
O termo é a função sinal de
, que só assume os valores
. Logo ele é limitado. Como
por hipótese e o outro fator é limitado, pelo teorema do produto de limites temos
[
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{|h|}=0
]
[
\frac{R(h)}{|h|}=\frac{R(h)}{h}\cdot\frac{h}{|h|}
]
O termo
[
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{|h|}=0
]
Passo 3
Agora suponha que
. De modo análogo escrevemos
[
\frac{R(h)}{h}=\frac{R(h)}{|h|}\cdot\frac{|h|}{h}
]
O fator também vale
e, portanto, é limitado. Como
por hipótese, pelo mesmo argumento do produto chegamos a
[
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{h}=0
]
[
\frac{R(h)}{h}=\frac{R(h)}{|h|}\cdot\frac{|h|}{h}
]
O fator
[
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{h}=0
]
Passo 4
Assim demonstramos as duas implicações, provando a equivalência desejada.
Resposta
As duas condições são equivalentes porque cada quociente difere do outro apenas por um fator de sinal (que é limitado), e o produto de algo que tende a zero por algo limitado também tende a zero.