Calcule o número e com precisão de 5 casas decimais. (Obs.: Use como dado a estimativa e^x <= 3 para 0 <= x <= 1 ).

Passo 1

O enunciado pede calcular o número e com precisão de 5 casas decimais. O conteúdo principal é a série de Taylor para a função exponencial e o uso do resto de Lagrange. Vamos usar a expansão de e^x em torno de x=0 avaliada em x=1 e estimar o erro usando a desigualdade e^x<=3 para 0<= x<=1.

Passo 2

A expansão em série de Taylor de e^x no ponto x=0 é
e^x = sumk=0^inftyx^kk!
Em x=1 isso vira
e = sumk=0^infty1k!

Passo 3

O resto de Lagrange após n termos é dado por Rn(1)=e^xi(n+1)! para algum xiin[0,1]. Como e^xi<=3, temos
Rn(1) <= 3(n+1)!

Passo 4

Para garantir 5 casas decimais precisamos de Rn(1)<10^-5. Então achamos o menor n tal que
3(n+1)!<10^-5

Passo 5

Testando valores de n+1:
  • 6! =720 3/720approx4,17times10^-3
  • 7! =5040 3/5040approx5,95times10^-4
  • 8! =40320 3/40320approx7,44times10^-5
  • 9! =362880 3/362880approx8,27times10^-6<10^-5
    Logo, basta tomar n=8 e somar até k=0,1,dots,8.

Passo 6

Calculando a soma parcial
S8 = sumk=0^81k! = 1 + 1 + tfrac12 + tfrac16 + tfrac124 + tfrac1120 + tfrac1720 + tfrac15040 + tfrac140320 approx 2,71827877
Por fim, arredondando para cinco casas decimais, obtemos o valor de e dentro do erro exigido.

Resposta

2.71828

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