Mostre, pela definiçĭlo, que as funçठ̄es abaixo sảo diferenciáveis em
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Passo 1
A questão nos pede para mostrar, pela definição de diferenciabilidade em \mathbb{R}^2, que a função \ f(x,y)=x+y \ é diferenciável em todo ponto de \mathbb{R}^2. Vamos usar a ideia de decompor a variação de \f em parte linear (o diferencial) mais um resto que seja pequeno comparado à norma do incremento.
Passo 2
Para começar, vamos relembrar a definição de diferenciabilidade em \mathbb{R}^2: dizemos que \f é diferenciável em um ponto \(a,b)\ se existe uma aplicação linear \L: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, para todo incremento \(h,k)\ em \mathbb{R}^2, valha
[ f(a+h,b+k)-f(a,b) = L(h,k) + r(h,k), ]
com \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{r(h,k)}{\sqrt{h2+k2}} = 0. Aqui \L é justamente o diferencial de \f em \(a,b).
[ f(a+h,b+k)-f(a,b) = L(h,k) + r(h,k), ]
com \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{r(h,k)}{\sqrt{h2+k2}} = 0. Aqui \L é justamente o diferencial de \f em \(a,b).
Passo 3
O próximo passo é encontrar essa aplicação linear \L. Para isso, calculamos as derivadas parciais de \f:
$f_x(x,y)=1$ e $f_y(x,y)=1$. Logo, o candidato a diferencial em \(a,b)\ é
[ L(h,k) = f_x(a,b)\,h + f_y(a,b)\,k = 1\cdot h + 1\cdot k = h+k. ]
[ L(h,k) = f_x(a,b)\,h + f_y(a,b)\,k = 1\cdot h + 1\cdot k = h+k. ]
Passo 4
Agora verificamos a definição: calculamos
[ f(a+h,b+k)-f(a,b) - L(h,k). ]
Temos
[ f(a+h,b+k)= (a+h)+(b+k)=a+b+h+k, ]
[ f(a,b)=a+b, ]
[ L(h,k)=h+k. ]
Subtraindo tudo, obtemos
[ (a+b+h+k) - (a+b) - (h+k) = 0. ]
Ou seja, o resto \r(h,k) é exatamente zero.
[ f(a+h,b+k)-f(a,b) - L(h,k). ]
Temos
[ f(a+h,b+k)= (a+h)+(b+k)=a+b+h+k, ]
[ f(a,b)=a+b, ]
[ L(h,k)=h+k. ]
Subtraindo tudo, obtemos
[ (a+b+h+k) - (a+b) - (h+k) = 0. ]
Ou seja, o resto \r(h,k) é exatamente zero.
Passo 5
Como \r(h,k)=0, segue que \frac{r(h,k)}{\sqrt{h2+k2}} = 0 para todo \(h,k)\neq(0,0). Portanto, o limite do resto sobre a norma do incremento é zero, atendendo à definição de diferenciabilidade.
Passo 6
Concluímos que a função \f(x,y)=x+y admite diferencial linear em qualquer ponto de \mathbb{R}^2 e, por isso, é diferenciável em \mathbb{R}^2.
Resposta
A função f(x,y)=x+y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.