(4)(a)Mostre que a densidade de linhas de campo a uma distância r da carga pontual é proporcional a 1r^2 (sugestão: todas as N linhas de campo que se originam na carga Q passam em qualquer superfície esférica centrada na carga. Além disso a distribuição de linhas na superfície esférica é necessariamente uniforme).

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente mostre que, para uma carga pontual, a “densidade de linhas de campo” a uma distância vai como . Isso é conteúdo de Eletrostática: usamos o conceito de linhas de campo elétrico e um pouco de geometria de superfícies esféricas. Vamos precisar saber quantas linhas totais saem da carga e como elas ficam distribuídas numa esfera de raio .

Passo 2

Primeiro, define o que é “densidade de linhas de campo”: é o número de linhas que passam por unidade de área na superfície considerada. Se a gente chamar de o número total de linhas que saem da carga , então em qualquer esfera concêntrica tudo que sai de entra nessa esfera e sai dela — ou seja, são sempre linhas cortando a superfície.

Passo 3

Qual é a área de uma superfície esférica de raio A = 4pi r^2 ?
A gente sabe da geometria que

Passo 4

Como a distribuição é uniforme (não tem “acúmulo” de linhas em um canto da esfera), a densidade sigma = número de linhasárea = N4pi r^2 de linhas por área é simplesmente
úá

Passo 5

Repare que sigma propto 1r^2 e são constantes (não dependem de ). Então a gente conclui que

Resposta

A densidade de linhas de campo a uma distância de uma carga pontual é proporcional a .

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