(4)(a)Mostre que a densidade de linhas de campo a uma distância
da carga pontual é proporcional a
(sugestão: todas as
linhas de campo que se originam na carga
passam em qualquer superfície esférica centrada na carga. Além disso a distribuição de linhas na superfície esférica é necessariamente uniforme).
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente mostre que, para uma carga pontual, a “densidade de linhas de campo” a uma distância
vai como
. Isso é conteúdo de Eletrostática: usamos o conceito de linhas de campo elétrico e um pouco de geometria de superfícies esféricas. Vamos precisar saber quantas linhas totais saem da carga e como elas ficam distribuídas numa esfera de raio
.
Passo 2
Primeiro, define o que é “densidade de linhas de campo”: é o número de linhas que passam por unidade de área na superfície considerada. Se a gente chamar de
o número total de linhas que saem da carga
, então em qualquer esfera concêntrica tudo que sai de
entra nessa esfera e sai dela — ou seja, são sempre
linhas cortando a superfície.
Passo 3
Qual é a área de uma superfície esférica de raio
?
A gente sabe da geometria que
A gente sabe da geometria que
Passo 4
Como a distribuição é uniforme (não tem “acúmulo” de linhas em um canto da esfera), a densidade
de linhas por área é simplesmente
Passo 5
Repare que
e
são constantes (não dependem de
). Então a gente conclui que
Resposta
A densidade de linhas de campo a uma distância
de uma carga pontual é proporcional a
.