Um bloco de madeira com densidade rho possui dimensões a, b e c. Ele está flutuando num líquido de densidade mu, onde mu>rho, com o lado a disposto verticalmente. Num determinado instante, ele é empurrado para baixo e solto. Mostre que o movimento será harmônico simples. Calcule o período de oscilação.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um bloco de densidade rho e dimensões atimes btimes c flutuando num líquido de densidade mu>rho, com o lado a na vertical. Empurramos ele pra baixo e largamos. A tarefa é mostrar que o movimento é um MHS e achar o período.
Conteúdo envolvido:
  1. Princípio de Arquimedes (empuxo igual ao peso do fluido deslocado).
  2. Segunda lei de Newton para escrever a equação de movimento.
  3. Reconhecer forma de MHS e extrair o período.

Passo 2

Primeiro, achamos a posição de equilíbrio (quando o bloco flutua sem oscilar).
  • Área da base do bloco: A=b,c,
    - Em equilíbrio, empuxo E = peso P do bloco:
    E=mu g,(sA),, P=rho g,(aA),, onde s é a altura submersa em repouso.
    Igualando:$$\mu g,sA=\rho g,aA\quad\Longrightarrow\quad\mu,s=\rho,a\quad\Longrightarrow\quad s=\frac{\rho}{\mu},a,. $$

Passo 3

Agora, deslocamos o bloco uma distância x para baixo a partir de s.
  • Nova parte submersa: s+x.
  • Empuxo variável: E(x)=mu g,(s+x)A,
    - Peso continua P=rho g,aA.
    - Força resultante (positiva para cima):
    $$F(x)=E(x)-P=\mu g,A,(s+x)-\rho g,aA=\mu g,A,x, F(x)=E(x)-P =mu g,A,(s+x)-rho g,aA =mu g,A,x,, íéF=-\mu g,A,x,. $$

Passo 4

Aplicamos a segunda lei de Newton:
m,ddot x=F=-mu g,A,x,
A massa do bloco é
m=rho,a,b,c=rho,a,A,
Logo
ddot x +underbracemu g,Arho a,Aomega^2,x=0 Longrightarrow ddot x +mu grho,a,x=0,
Isso é a equação padrão de MHS com
omega^2=mu grho,a,

Resposta

O movimento é harmônico simples, e o período de oscilação vale
$$T=\frac{2\pi}{\omega}
=2\pi\sqrt{\frac{\rho,a}{\mu,g}},. $$

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