Um bloco de madeira com densidade
possui dimensões
e
. Ele está flutuando num líquido de densidade
, onde
, com o lado
disposto verticalmente. Num determinado instante, ele é empurrado para baixo e solto. Mostre que o movimento será harmônico simples. Calcule o período de oscilação.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos um bloco de densidade
e dimensões
flutuando num líquido de densidade
, com o lado
na vertical. Empurramos ele pra baixo e largamos. A tarefa é mostrar que o movimento é um MHS e achar o período.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Princípio de Arquimedes (empuxo igual ao peso do fluido deslocado).
- Segunda lei de Newton para escrever a equação de movimento.
- Reconhecer forma de MHS e extrair o período.
Passo 2
Primeiro, achamos a posição de equilíbrio (quando o bloco flutua sem oscilar).
- Área da base do bloco:
- Em equilíbrio, empuxo= peso do bloco:
onde é a altura submersa em repouso.
Igualando:$$\mu g,sA=\rho g,aA\quad\Longrightarrow\quad\mu,s=\rho,a\quad\Longrightarrow\quad s=\frac{\rho}{\mu},a,. $$
Passo 3
Agora, deslocamos o bloco uma distância
para baixo a partir de
.
- Nova parte submersa:
. - Empuxo variável:
- Peso continua.
- Força resultante (positiva para cima):
$$F(x)=E(x)-P=\mu g,A,(s+x)-\rho g,aA=\mu g,A,x,F=-\mu g,A,x,. $$
Passo 4
Aplicamos a segunda lei de Newton:
A massa do bloco é
Logo
Isso é a equação padrão de MHS com
Resposta
O movimento é harmônico simples, e o período de oscilação vale
$$T=\frac{2\pi}{\omega}
=2\pi\sqrt{\frac{\rho,a}{\mu,g}},. $$