Mostre que a densidade numérica de partículas de poeira medida por um observador cuja 4-velocidade é \vec{U}_{o b s} é dada por -\vec{N} \cdot \vec{U}_{o b s}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o 4-vetor corrente de número de partículas \vec{N} (também chamado de número-fluxo) e a 4-velocidade de um observador \vec{U}_{\text{obs}}.
  • Pedido: mostrar que a densidade numérica de partículas medida por esse observador (isto é, o número de partículas por unidade de volume no referencial instantâneo do observador) é
-\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}}.
Vou trabalhar de forma covariante e explicar passo a passo por que essa contração dá exatamente a densidade medida.

Passo 2

Definição física e matemática do corrente de partículas \vec{N}.
  • Para um “dust” (poeira) ou para qualquer conjunto de partículas que não se criam/destruam localmente, define-se o 4-vetor corrente de número como
\vec{N}=n\,\vec{u},
onde:
  • n é a densidade própria de partículas (número por unidade de volume próprio) medida no referencial com velocidade 4- \vec{u} (o referencial com as partículas em repouso);
  • \vec{u} é a 4-velocidade das partículas (normalizada a \vec{u}\cdot\vec{u}=-1 no sistema de unidades com c=1).
    Explicação intuitiva: \vec{N} transporta a informação de quantas partículas atravessam uma área 3D orientada por unidade de tempo próprio — é o fluxo de partículas no espaço-tempo.

Passo 3

Escolhendo o referencial local do observador (frame instantâneo) para ver o que ele mede.
  • Considere um sistema de coordenadas local (referencial instantâneo do observador) onde a 4-velocidade do observador tem componentes
\vec{U}_{\text{obs}}=(1,0,0,0),
isto é, o observador está em repouso nesse sistema local. (Isto é sempre possível por definição de 4-velocidade: há um sistema local inercial onde U_{\text{obs}}^\mu=(1,0,0,0).)
  • Nesse frame, escrevemos \vec{N}=(N^0,\mathbf{N}) com N^0 a componente temporal e \mathbf{N} as componentes espaciais. A densidade que o observador mede é o número de partículas por unidade de volume espacial daquele frame, que é precisamente a componente temporal N^0. Assim, no frame do observador:
n_{\text{obs}} = N^0.

Passo 4

Mostrar que a contração -\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} N^0 no frame do observador (portanto é a densidade medida), usando a assinatura de métrica (-+++).
  • Com a métrica (-+++) tem-se U_{\text{obs}}^\mu=(1,0,0,0) e o índice covariante correspondente é U_{\text{obs}\,\mu}=g_{\mu\nu}U_{\text{obs}}^\nu = (-1,0,0,0).
  • A contração é
-\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} = -N_\mu U_{\text{obs}}^\mu = -N_0 U_{\text{obs}}^0.
Mas N_0 = g_{0\nu}N^\nu = g_{00}N^0 = -N^0 e U_{\text{obs}}^0=1. Portanto
-\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} = -(-N^0)\cdot 1 = N^0 = n_{\text{obs}}.
Conclusão: a expressão contraviante dá exatamente a componente temporal de \vec{N} no frame do observador, isto é, a densidade numérica medida por ele.

Passo 5

Derivação covariante (sem escolher um frame): decomposição relativa ao observador.
  • Qualquer 4-vetor \vec{N} pode ser decomposto em uma parte paralela a \vec{U}_{\text{obs}} e uma parte ortogonal a ele:
\vec{N} = n_{\text{obs}}\,\vec{U}_{\text{obs}} + \mathbf{J},
com \mathbf{J}\cdot\vec{U}_{\text{obs}}=0. Aqui n_{\text{obs}} é uma função escalar (a componente temporal na direção de \vec{U}_{\text{obs}}) e \mathbf{J} é o fluxo espacial visto pelo observador.
  • Contraindo ambos os lados com U_{\text{obs}} obtemos
\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} = n_{\text{obs}}(\vec{U}_{\text{obs}}\cdot\vec{U}_{\text{obs}}) + \mathbf{J}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} = n_{\text{obs}}(-1) + 0 = -n_{\text{obs}}.
Assim
n_{\text{obs}} = -\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}}.
Isto é inteiramente covariante e não depende de escolher coordenadas: a contração com a 4-velocidade do observador extrai a densidade que ele mede.

Passo 6

Exemplo físico simples para fixar a intuição (poeira em movimento relativo).
  • Suponha que a poeira tenha densidade própria n no seu próprio frame e 4-velocidade \vec{u}. Então \vec{N}=n\vec{u}. Para um observador que vê a poeira com fator de Lorentz \gamma (relativo), tem-se \vec{u}\cdot\vec{U}_{\text{obs}}=-\gamma. Logo
-\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} = -n\,\vec{u}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} = -n(-\gamma)=n\gamma,
que é exatamente a densidade aumentada por contração do volume (o resultado físico esperado: densidade no referencial do observador é \gamma vezes a densidade própria). Isso confirma a interpretação física da fórmula.

Passo 7

Resumo e interpretação final.
  • A quantidade \vec{N} é o fluxo de partículas no espaço-tempo. A 4-velocidade \vec{U}_{\text{obs}} define as hipersuperfícies de simultaneidade do observador. A contração -\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}} mede quantas linhas de mundo (partículas) atravessam por unidade de volume dessas hipersuperfícies — exatamente a densidade numérica observada. O sinal negativo aparece por causa da assinatura da métrica (4-velocidades têm norma negativa).

Resposta

-\vec{N}\cdot\vec{U}_{\text{obs}}

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