Mostre que a densidade numérica de partículas de poeira medida por um observador cuja 4-velocidade é
é dada por
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o 4-vetor corrente de número de partículas
(também chamado de número-fluxo) e a 4-velocidade de um observador . - Pedido: mostrar que a densidade numérica de partículas medida por esse observador (isto é, o número de partículas por unidade de volume no referencial instantâneo do observador) é
Vou trabalhar de forma covariante e explicar passo a passo por que essa contração dá exatamente a densidade medida.
Passo 2
Definição física e matemática do corrente de partículas
.
- Para um “dust” (poeira) ou para qualquer conjunto de partículas que não se criam/destruam localmente, define-se o 4-vetor corrente de número como
onde:
-
é a densidade própria de partículas (número por unidade de volume próprio) medida no referencial com velocidade 4- (o referencial com as partículas em repouso); -
é a 4-velocidade das partículas (normalizada a no sistema de unidades com ).
Explicação intuitiva:transporta a informação de quantas partículas atravessam uma área 3D orientada por unidade de tempo próprio — é o fluxo de partículas no espaço-tempo.
Passo 3
Escolhendo o referencial local do observador (frame instantâneo) para ver o que ele mede.
- Considere um sistema de coordenadas local (referencial instantâneo do observador) onde a 4-velocidade do observador tem componentes
isto é, o observador está em repouso nesse sistema local. (Isto é sempre possível por definição de 4-velocidade: há um sistema local inercial onde
.)
- Nesse frame, escrevemos
com a componente temporal e as componentes espaciais. A densidade que o observador mede é o número de partículas por unidade de volume espacial daquele frame, que é precisamente a componente temporal . Assim, no frame do observador:
Passo 4
Mostrar que a contração
dá
no frame do observador (portanto é a densidade medida), usando a assinatura de métrica
.
- Com a métrica
tem-se e o índice covariante correspondente é . - A contração é
Mas
e
. Portanto
Conclusão: a expressão contraviante dá exatamente a componente temporal de
no frame do observador, isto é, a densidade numérica medida por ele.
Passo 5
Derivação covariante (sem escolher um frame): decomposição relativa ao observador.
- Qualquer 4-vetor
pode ser decomposto em uma parte paralela a e uma parte ortogonal a ele:
com
. Aqui
é uma função escalar (a componente temporal na direção de
) e
é o fluxo espacial visto pelo observador.
- Contraindo ambos os lados com
obtemos
Assim
Isto é inteiramente covariante e não depende de escolher coordenadas: a contração com a 4-velocidade do observador extrai a densidade que ele mede.
Passo 6
Exemplo físico simples para fixar a intuição (poeira em movimento relativo).
- Suponha que a poeira tenha densidade própria
no seu próprio frame e 4-velocidade . Então . Para um observador que vê a poeira com fator de Lorentz (relativo), tem-se . Logo
que é exatamente a densidade aumentada por contração do volume (o resultado físico esperado: densidade no referencial do observador é
vezes a densidade própria). Isso confirma a interpretação física da fórmula.
Passo 7
Resumo e interpretação final.
- A quantidade
é o fluxo de partículas no espaço-tempo. A 4-velocidade define as hipersuperfícies de simultaneidade do observador. A contração mede quantas linhas de mundo (partículas) atravessam por unidade de volume dessas hipersuperfícies — exatamente a densidade numérica observada. O sinal negativo aparece por causa da assinatura da métrica (4-velocidades têm norma negativa).