Mostre que a equação
quando
é igual a um índice espacial
, representa a segunda lei de Newton.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que a igualdade
quando
é um índice espacial
, representa a segunda lei de Newton. Informações relevantes dadas (e convenções que vou usar):
-
é o tensor energia‑momento (stress–energy tensor). - A vírgula em
indica derivada parcial: . - Indice
é somado (convenção de soma de Einstein) sobre . - Quando
(índice espacial), a equação fica . - Vou trabalhar com coordenada temporal
(posso usar unidades em que ou simplesmente identificar ), e com integrais de volume no espaço tridimensional .
Nada mais será assumido neste passo; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escrevo explicitamente a equação para
. Como
varia de
a
,
significa
onde
(soma implícita em
). Aqui eu separei claramente a derivada temporal (
) da divergência espacial (
) — isso é o ponto de partida.
Passo 3
Intpereto fisicamente os componentes de
relevantes:
-
é a densidade do momento na direção (momentum density): é o momento por unidade volume, ou seja, a quantidade de momento contida em uma unidade de volume. -
é o fluxo de momento: o componente representa o fluxo da componente do momento através de uma superfície normal à direção . Em mecânica dos meios contínuos, é o tensor de tensões (stress tensor) que contém pressão, tensões de cisalhamento etc.
Essa interpretação é padrão e pode ser verificada a partir da definição de quantidades conservadas associadas a.
Passo 4
Defino a quantidade global que me interessa: o momentum total dentro de um volume espacial
(em um instante
):
Isto é: somo a densidade de momento em todo o volume para obter o momento total
. Agora derivo em relação ao tempo:
onde troquei derivada temporal com integral (supõe-se condições que permitem isso, como volumes fixos em coordenadas espaciais).
Passo 5
Uso a equação local
para substituir
:
Agora aplico o teorema da divergência (Gauss) à integral espacial:
onde
é a superfície que limita o volume
e
é o vetor normal externo à superfície. Portanto
Passo 6
Interpreto o lado direito fisicamente:
é a força total exercida sobre o volume
pelas tensões na superfície que o envolve (força transmitida através da fronteira por pressão e tensões). Com o sinal,
de modo que a equação obtida fica
Isto é exatamente a formulação integral da segunda lei de Newton para um sistema contínuo: a taxa de variação do momento total no volume é igual à força total sobre o volume.
Passo 7
Faço a passagem para a forma local (densidade da segunda lei). Se eu quiser a versão de “força por unidade de volume”, retiro a integral: da equação local original
rearranjando obtenho
A interpretação é: a taxa local de variação da densidade de momento (lado esquerdo) é igual à densidade de força resultante dada pela divergência do tensor de tensões (lado direito). Se eu escrever explicitamente em termos de massa e velocidade numa descrição não relativística comum, para muitas vezes
e
(onde
é densidade de massa,
velocidade e
é o tensor de tensões/excessos), então
Reescrevendo e usando a derivada material dá a forma familiar
ou seja, massa vezes aceleração (termo à esquerda) igual à força por unidade de volume (termo à direita) — a forma diferencial da segunda lei de Newton para meios contínuos (por exemplo, a equação de Euler quando
).
Passo 8
Comentário final e intuição: a equação tensorial
contém conservação de energia e de momento. Para
obtém‑se conservação de energia; para
obtém‑se conservação do momento, que, quando integrada sobre um volume ou interpretada localmente, é exatamente a segunda lei de Newton (taxa de variação do momento = força). Em presença de forças externas a equação geral fica
, onde
é a densidade de força externa — novamente a mesma estrutura da segunda lei com fontes.
Resposta
ou seja, a taxa de variação do momento total é igual à força resultante sobre a superfície — a segunda lei de Newton para um contínuo.