Mostre que a equação
T_{, \beta}^{\alpha \beta}=0
quando \alpha é igual a um índice espacial (\alpha=i=1,2,3), representa a segunda lei de Newton.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que a igualdade
T_{,\beta}^{\alpha\beta}=0
quando \alpha é um índice espacial \alpha=i=1,2,3, representa a segunda lei de Newton. Informações relevantes dadas (e convenções que vou usar):
  • T^{\alpha\beta} é o tensor energia‑momento (stress–energy tensor).
  • A vírgula em T_{,\beta}^{\alpha\beta} indica derivada parcial: T_{,\beta}^{\alpha\beta}=\partial_\beta T^{\alpha\beta}.
  • Indice \beta é somado (convenção de soma de Einstein) sobre 0,1,2,3.
  • Quando \alpha=i (índice espacial), a equação fica \partial_\beta T^{i\beta}=0.
  • Vou trabalhar com coordenada temporal x^0=t (posso usar unidades em que c=1 ou simplesmente identificar \partial_0=\partial/\partial t), e com integrais de volume no espaço tridimensional \mathrm{d}^3x.
    Nada mais será assumido neste passo; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escrevo explicitamente a equação para \alpha=i. Como \beta varia de 0 a 3,
\partial_\beta T^{i\beta}=0
significa
\partial_0 T^{i0} + \partial_j T^{ij}=0,
onde j=1,2,3 (soma implícita em j). Aqui eu separei claramente a derivada temporal ( \partial_0) da divergência espacial ( \partial_j) — isso é o ponto de partida.

Passo 3

Intpereto fisicamente os componentes de T^{\alpha\beta} relevantes:
  • T^{i0} é a densidade do momento na direção i (momentum density): é o momento por unidade volume, ou seja, a quantidade de momento p^i contida em uma unidade de volume.
  • T^{ij} é o fluxo de momento: o componente T^{ij} representa o fluxo da componente i do momento através de uma superfície normal à direção x^j. Em mecânica dos meios contínuos, T^{ij} é o tensor de tensões (stress tensor) que contém pressão, tensões de cisalhamento etc.
    Essa interpretação é padrão e pode ser verificada a partir da definição de quantidades conservadas associadas a T^{\alpha\beta}.

Passo 4

Defino a quantidade global que me interessa: o momentum total dentro de um volume espacial V (em um instante t):
P^i(t) \equiv \int_V T^{i0}(t,\mathbf{x})\,\mathrm{d}^3x.
Isto é: somo a densidade de momento em todo o volume para obter o momento total P^i. Agora derivo em relação ao tempo:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}P^i(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V T^{i0}\,\mathrm{d}^3x=\int_V \partial_0 T^{i0}\,\mathrm{d}^3x,
onde troquei derivada temporal com integral (supõe-se condições que permitem isso, como volumes fixos em coordenadas espaciais).

Passo 5

Uso a equação local \partial_0 T^{i0} + \partial_j T^{ij}=0 para substituir \partial_0 T^{i0}:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}P^i(t)=\int_V \big(-\partial_j T^{ij}\big)\,\mathrm{d}^3x = -\int_V \partial_j T^{ij}\,\mathrm{d}^3x.
Agora aplico o teorema da divergência (Gauss) à integral espacial:
\int_V \partial_j T^{ij}\,\mathrm{d}^3x = \oint_{\partial V} T^{ij} n_j \,\mathrm{d}S,
onde \partial V é a superfície que limita o volume V e n_j é o vetor normal externo à superfície. Portanto
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}P^i(t) = -\oint_{\partial V} T^{ij} n_j \,\mathrm{d}S.

Passo 6

Interpreto o lado direito fisicamente: \oint_{\partial V} T^{ij} n_j\,\mathrm{d}S é a força total exercida sobre o volume V pelas tensões na superfície que o envolve (força transmitida através da fronteira por pressão e tensões). Com o sinal,
F^i_{\text{(surface)}} = -\oint_{\partial V} T^{ij} n_j \,\mathrm{d}S,
de modo que a equação obtida fica
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}P^i(t) = F^i_{\text{(surface)}}.
Isto é exatamente a formulação integral da segunda lei de Newton para um sistema contínuo: a taxa de variação do momento total no volume é igual à força total sobre o volume.

Passo 7

Faço a passagem para a forma local (densidade da segunda lei). Se eu quiser a versão de “força por unidade de volume”, retiro a integral: da equação local original
\partial_0 T^{i0} + \partial_j T^{ij}=0
rearranjando obtenho
\partial_0 T^{i0} = -\partial_j T^{ij}.
A interpretação é: a taxa local de variação da densidade de momento (lado esquerdo) é igual à densidade de força resultante dada pela divergência do tensor de tensões (lado direito). Se eu escrever explicitamente em termos de massa e velocidade numa descrição não relativística comum, para muitas vezes T^{i0}\approx \rho v^i e T^{ij}\approx \rho v^i v^j + \sigma^{ij} (onde \rho é densidade de massa, v^i velocidade e \sigma^{ij} é o tensor de tensões/excessos), então
\partial_0(\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j + \sigma^{ij})=0.
Reescrevendo e usando a derivada material dá a forma familiar
\rho\big(\partial_t v^i + v^j\partial_j v^i\big) = -\partial_j \sigma^{ij},
ou seja, massa vezes aceleração (termo à esquerda) igual à força por unidade de volume (termo à direita) — a forma diferencial da segunda lei de Newton para meios contínuos (por exemplo, a equação de Euler quando \sigma^{ij}=-p\delta^{ij}).

Passo 8

Comentário final e intuição: a equação tensorial \partial_\beta T^{\alpha\beta}=0 contém conservação de energia e de momento. Para \alpha=0 obtém‑se conservação de energia; para \alpha=i obtém‑se conservação do momento, que, quando integrada sobre um volume ou interpretada localmente, é exatamente a segunda lei de Newton (taxa de variação do momento = força). Em presença de forças externas a equação geral fica \partial_\beta T^{\alpha\beta}=f^\alpha, onde f^i é a densidade de força externa — novamente a mesma estrutura da segunda lei com fontes.

Resposta

\displaystyle \partial_\beta T^{i\beta}=0 \\ \Longrightarrow\\ \partial_0 T^{i0}+\partial_j T^{ij}=0\\ \Rightarrow\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\int_V T^{i0}\mathrm{d}^3x = -\oint_{\partial V}T^{ij}n_j\mathrm{d}S,
ou seja, a taxa de variação do momento total é igual à força resultante sobre a superfície — a segunda lei de Newton para um contínuo.

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