Suponha que
é um tensor antisimétrico do tipo
um tensor simétrico do tipo
um tensor arbitrário do tipo
e
um tensor arbitrário do tipo
. Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- O enunciado pede para provar a identidade
- Informações que temos:
-
é antissimétrico do tipo . (Não será usado diretamente aqui, só está no enunciado.) -
é simétrico do tipo . Isto significa que, para todos os índices, -
é um tensor arbitrário do tipo (não usado aqui). -
é um tensor arbitrário do tipo . Não presumimos simetria nem antissimetria para .
-
- Notação e convenções que vou usar:
- Índices repetidos são somados (convenção de Einstein).
- Definições de parte simétrica e antissimétrica que vou usar estão abaixo.
Passo 2
Definir parte simétrica e antissimétrica de
e decompor
.
- A parte simétrica de
é definida por
- A parte antissimétrica de
é definida por
- Qualquer tensor de ordem dois pode ser decomposto em soma das partes simétrica e antissimétrica:
Explicando devagar: a notação
indica que se toma a média entre a permutação direta e a permutada (resultado simétrico). A notação
indica a diferença dividida por 2 (resultado antissimétrico).
Passo 3
Escrever a contração
usando a decomposição de
.
- Substituindo a decomposição em
obtemos
- Assim, para provar a identidade desejada basta mostrar que a segunda parcela é zero:
Passo 4
Provar que
usando simetria de
e antissimetria de
.
- Começo com a quantidade
. - Faço uma troca de nomes dos índices de soma (isso é legítimo porque são índices dummy somados): trocando
,
- Agora uso as propriedades:
-
é simétrico, então . -
pela antissimetria.
Juntando elas:
-
- Assim obtemos
- A única quantidade igual a seu negativo é zero, logo
- Intuição rápida: ao somar sobre
o termo troca de sinal quando permutamos índices por causa de , mas não troca sinal, então o somatório tem que se anular.
Passo 5
Concluir a prova combinando os resultados anteriores.
- Voltando à decomposição do Passo 3 e usando o resultado do Passo 4:
- Portanto exatamente a identidade pedida está demonstrada: a contração de um tensor simétrico com a parte antissimétrica de outro dá zero, e só a parte simétrica de
contribui.