Suponha que \overleftrightarrow{A} é um tensor antisimétrico do tipo \binom{2}{0}, \overleftrightarrow{B} um tensor simétrico do tipo \binom{0}{2}, \overleftrightarrow{C} um tensor arbitrário do tipo \binom{0}{2} e \overleftrightarrow{D} um tensor arbitrário do tipo \binom{2}{0}. Prove que
B_{\alpha \beta} D^{\alpha \beta}=B_{\alpha \beta} D^{(\alpha \beta)}

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado pede para provar a identidade
B_{\alpha \beta} D^{\alpha \beta}=B_{\alpha \beta} D^{(\alpha \beta)}.
  • Informações que temos:
    • \overleftrightarrow{A} é antissimétrico do tipo \binom{2}{0}. (Não será usado diretamente aqui, só está no enunciado.)
    • \overleftrightarrow{B} é simétrico do tipo \binom{0}{2}. Isto significa que, para todos os índices, B_{\alpha\beta}=B_{\beta\alpha}.
    • \overleftrightarrow{C} é um tensor arbitrário do tipo \binom{0}{2} (não usado aqui).
    • \overleftrightarrow{D} é um tensor arbitrário do tipo \binom{2}{0}. Não presumimos simetria nem antissimetria para D^{\alpha\beta}.
  • Notação e convenções que vou usar:
    • Índices repetidos são somados (convenção de Einstein).
    • Definições de parte simétrica e antissimétrica que vou usar estão abaixo.

Passo 2

Definir parte simétrica e antissimétrica de D^{\alpha\beta} e decompor D^{\alpha\beta}.
  • A parte simétrica de D^{\alpha\beta} é definida por
D^{(\alpha\beta)}=\tfrac{1}{2}\bigl(D^{\alpha\beta}+D^{\beta\alpha}\bigr).
  • A parte antissimétrica de D^{\alpha\beta} é definida por
D^{[\alpha\beta]}=\tfrac{1}{2}\bigl(D^{\alpha\beta}-D^{\beta\alpha}\bigr).
  • Qualquer tensor de ordem dois pode ser decomposto em soma das partes simétrica e antissimétrica:
D^{\alpha\beta}=D^{(\alpha\beta)}+D^{[\alpha\beta]}.
Explicando devagar: a notação (\alpha\beta) indica que se toma a média entre a permutação direta e a permutada (resultado simétrico). A notação [\alpha\beta] indica a diferença dividida por 2 (resultado antissimétrico).

Passo 3

Escrever a contração B_{\alpha\beta}D^{\alpha\beta} usando a decomposição de D^{\alpha\beta}.
  • Substituindo a decomposição em \,B_{\alpha\beta}D^{\alpha\beta}\, obtemos
B_{\alpha\beta}D^{\alpha\beta}=B_{\alpha\beta}\bigl(D^{(\alpha\beta)}+D^{[\alpha\beta]}\bigr) = B_{\alpha\beta}D^{(\alpha\beta)} + B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}.
  • Assim, para provar a identidade desejada basta mostrar que a segunda parcela é zero:
B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}=0.

Passo 4

Provar que B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}=0 usando simetria de B e antissimetria de D^{[\alpha\beta]}.
  • Começo com a quantidade B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}.
  • Faço uma troca de nomes dos índices de soma (isso é legítimo porque são índices dummy somados): trocando \alpha\leftrightarrow\beta,
B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]} = B_{\beta\alpha}D^{[\beta\alpha]}.
  • Agora uso as propriedades:
    • B é simétrico, então B_{\beta\alpha}=B_{\alpha\beta}.
    • D^{[\beta\alpha]}=-D^{[\alpha\beta]} pela antissimetria.
      Juntando elas:
B_{\beta\alpha}D^{[\beta\alpha]} = B_{\alpha\beta}\bigl(-D^{[\alpha\beta]}\bigr) = -B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}.
  • Assim obtemos
B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]} = -B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}.
  • A única quantidade igual a seu negativo é zero, logo
B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}=0.
  • Intuição rápida: ao somar sobre \alpha,\beta o termo troca de sinal quando permutamos índices por causa de D^{[]}, mas B não troca sinal, então o somatório tem que se anular.

Passo 5

Concluir a prova combinando os resultados anteriores.
  • Voltando à decomposição do Passo 3 e usando o resultado do Passo 4:
B_{\alpha\beta}D^{\alpha\beta}=B_{\alpha\beta}D^{(\alpha\beta)} + \underbrace{B_{\alpha\beta}D^{[\alpha\beta]}}_{=0} = B_{\alpha\beta}D^{(\alpha\beta)}.
  • Portanto exatamente a identidade pedida está demonstrada: a contração de um tensor simétrico com a parte antissimétrica de outro dá zero, e só a parte simétrica de D^{\alpha\beta} contribui.

Resposta

B_{\alpha \beta} D^{\alpha \beta}=B_{\alpha \beta} D^{(\alpha \beta)}

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