Suponha que \overleftrightarrow{A} é um tensor antisimétrico do tipo \binom{2}{0}, \overleftrightarrow{B} um tensor simétrico do tipo \binom{0}{2}, \overleftrightarrow{C} um tensor arbitrário do tipo \binom{0}{2} e \overleftrightarrow{D} um tensor arbitrário do tipo \binom{2}{0}. Prove que
A^{\alpha \beta} C_{\alpha \beta}=A^{\alpha \beta} C_{[\alpha \beta]}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • \overleftrightarrow{A} é um tensor antissimétrico do tipo \binom{2}{0}. Ou seja, suas componentes satisfazem A^{\alpha\beta}=-A^{\beta\alpha}.
  • \overleftrightarrow{B} é um tensor simétrico do tipo \binom{0}{2}. (Não vamos precisar dele para a prova pedida, mas foi informado.)
  • \overleftrightarrow{C} é um tensor arbitrário do tipo \binom{0}{2}. Suas componentes são C_{\alpha\beta}, sem suposição de simetria.
  • \overleftrightarrow{D} é um tensor arbitrário do tipo \binom{2}{0}. (Também não será necessário aqui.)
O que o enunciado pede que provemos:
  • Mostrar que
A^{\alpha \beta} C_{\alpha \beta}=A^{\alpha \beta} C_{[\alpha \beta]}.

Passo 2

Vamos lembrar definições e notação importantes (explicando passo a passo):
  • Um tensor antissimétrico de ordem 2 satisfaz
A^{\alpha\beta}=-A^{\beta\alpha}\quad\text{para todos os índices \(\alpha,\beta\).}í
Isto significa que trocar os índices muda o sinal.
  • Para qualquer tensor de duas componentes C_{\alpha\beta} podemos separar a parte simétrica e a parte antissimétrica usando as definições padrão:
C_{(\alpha\beta)}=\frac{1}{2}\bigl(C_{\alpha\beta}+C_{\beta\alpha}\bigr)
e
C_{[\alpha\beta]}=\frac{1}{2}\bigl(C_{\alpha\beta}-C_{\beta\alpha}\bigr).
Aqui C_{(\alpha\beta)} é a parte simétrica ( C_{(\alpha\beta)}=C_{(\beta\alpha)}) e C_{[\alpha\beta]} é a parte antissimétrica ( C_{[\alpha\beta]}=-C_{[\beta\alpha]}).
  • Qualquer C_{\alpha\beta} se decompõe como
C_{\alpha\beta}=C_{(\alpha\beta)}+C_{[\alpha\beta]}.
  • Finalmente, por convenção de soma de Einstein, quando um índice aparece uma vez em cima e uma vez em baixo ocorre soma sobre esse índice (contracção). É permitido renomear índices dummies (variáveis de soma), por exemplo trocar \alpha por \beta e vice‑versa sem alterar o valor da soma.

Passo 3

Escrevo a contracção que precisamos manipular usando a decomposição da parte simétrica e antissimétrica de C_{\alpha\beta}:
A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta}=A^{\alpha\beta}\bigl(C_{(\alpha\beta)}+C_{[\alpha\beta]}\bigr) = A^{\alpha\beta}C_{(\alpha\beta)} + A^{\alpha\beta}C_{[\alpha\beta]}.
Portanto, para provar a igualdade pedida basta mostrar que
A^{\alpha\beta}C_{(\alpha\beta)}=0,
pois assim sobrará apenas a parte antissimétrica.

Passo 4

Mostro que a contribuição da parte simétrica é zero. Defino
S \equiv A^{\alpha\beta}C_{(\alpha\beta)}.
Usando a definição de C_{(\alpha\beta)} escrevo explicitamente:
S = A^{\alpha\beta}\frac{1}{2}\bigl(C_{\alpha\beta}+C_{\beta\alpha}\bigr) = \frac{1}{2}A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta}+\frac{1}{2}A^{\alpha\beta}C_{\beta\alpha}.

Passo 5

Agora manipulo o segundo termo da expressão de S renomeando índices (lembre: índices repetidos são dummies, posso trocar \alpha\leftrightarrow\beta nesse termo):
\frac{1}{2}A^{\alpha\beta}C_{\beta\alpha}=\frac{1}{2}A^{\beta\alpha}C_{\alpha\beta}.
Como A^{\beta\alpha}=-A^{\alpha\beta} por antissimetria, obtemos
\frac{1}{2}A^{\beta\alpha}C_{\alpha\beta}=-\frac{1}{2}A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta}.
Substituindo esse resultado em S
S=\frac{1}{2}A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta}=0.
Portanto A^{\alpha\beta}C_{(\alpha\beta)}=0.

Passo 6

Com o resultado anterior, voltamos à decomposição do Passo 3:
A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta}=A^{\alpha\beta}C_{(\alpha\beta)} + A^{\alpha\beta}C_{[\alpha\beta]} = 0 + A^{\alpha\beta}C_{[\alpha\beta]}.
Logo
A^{\alpha\beta}C_{\alpha\beta}=A^{\alpha\beta}C_{[\alpha\beta]},
que é exatamente o que queríamos provar.
(Uma pequena verificação numérica rápida para intuição: em dimensão 2, se A^{ij}=\begin{pmatrix}0&a\\\ -a&0\end{pmatrix} e C_{ij}=\begin{pmatrix}x&y\y&z\end{pmatrix} (simétrico), então A^{ij}C_{ij}=0. Isso ilustra que a parte simétrica não contribui.)

Resposta

A^{\alpha \beta} C_{\alpha \beta}=A^{\alpha \beta} C_{[\alpha \beta]}

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