Suponha que
é um tensor antisimétrico do tipo
um tensor simétrico do tipo
um tensor arbitrário do tipo
e
um tensor arbitrário do tipo
. Prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
-
é um tensor antissimétrico do tipo . Ou seja, suas componentes satisfazem . -
é um tensor simétrico do tipo . (Não vamos precisar dele para a prova pedida, mas foi informado.) -
é um tensor arbitrário do tipo . Suas componentes são , sem suposição de simetria. -
é um tensor arbitrário do tipo . (Também não será necessário aqui.)
O que o enunciado pede que provemos:
- Mostrar que
Passo 2
Vamos lembrar definições e notação importantes (explicando passo a passo):
- Um tensor antissimétrico de ordem 2 satisfaz
Isto significa que trocar os índices muda o sinal.
- Para qualquer tensor de duas componentes
podemos separar a parte simétrica e a parte antissimétrica usando as definições padrão:
e
Aqui
é a parte simétrica (
) e
é a parte antissimétrica (
).
- Qualquer
se decompõe como
- Finalmente, por convenção de soma de Einstein, quando um índice aparece uma vez em cima e uma vez em baixo ocorre soma sobre esse índice (contracção). É permitido renomear índices dummies (variáveis de soma), por exemplo trocar
por e vice‑versa sem alterar o valor da soma.
Passo 3
Escrevo a contracção que precisamos manipular usando a decomposição da parte simétrica e antissimétrica de
:
Portanto, para provar a igualdade pedida basta mostrar que
pois assim sobrará apenas a parte antissimétrica.
Passo 4
Mostro que a contribuição da parte simétrica é zero. Defino
Usando a definição de
escrevo explicitamente:
Passo 5
Agora manipulo o segundo termo da expressão de
renomeando índices (lembre: índices repetidos são dummies, posso trocar
nesse termo):
Como
por antissimetria, obtemos
Substituindo esse resultado em
dá
Portanto
.
Passo 6
Com o resultado anterior, voltamos à decomposição do Passo 3:
Logo
que é exatamente o que queríamos provar.
(Uma pequena verificação numérica rápida para intuição: em dimensão
, se
e
(simétrico), então
. Isso ilustra que a parte simétrica não contribui.)