4- Mostre que a derivada da função f(x)=tan x é:
f^prime(x)=sec ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a derivada de f(x)=tan x é sec^2 x.
O conteúdo principal envolve a derivada de funções trigonométricas e a aplicação da regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos
tan x = sin xcos x
e lembramos das derivadas básicas:
l(sin xr)' = cos x, l(cos xr)' = -sin x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente a u(x)=sin x e v(x)=cos x:
l(tfracuvr)' = u'v - u,v'v^2
Substituindo:
f'(x) = cos xcdotcos x ;-;sin xcdot(-sin x)cos^2 x = cos^2 x + sin^2 xcos^2 x

Passo 4

Usamos a identidade pitagórica cos^2 x + sin^2 x = 1, então
f'(x) = 1cos^2 x = sec^2 x

Resposta

f'(x)=sec^2 x

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