Sejam
\mathbf{F}_{1}
e
\mathbf{F}_{2}
campos vetoriais diferenciáveis e sejam
a
e
b
constantes reais arbitrárias. Verifique as identidades a seguir.
\nabla \times\left(a \mathbf{F}_{1}+b \mathbf{F}_{2}\right)=a \nabla \times \mathbf{F}_{1}+b \nabla \times \mathbf{F}_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de linearidade do rotacional (curl) sobre combinações lineares de campos vetoriais. O conteúdo aqui é cálculo vetorial e vamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas e a linearidade da derivada parcial.

Passo 2

Denotemos \mathbf{F}_{1}=(P_{1},Q_{1},R_{1}) e \mathbf{F}_{2}=(P_{2},Q_{2},R_{2}).
Então
a\,\mathbf{F}_{1}+b\,\mathbf{F}_{2} =(aP_{1}+bP_{2},\,aQ_{1}+bQ_{2},\,aR_{1}+bR_{2}).

Passo 3

Lembrando a definição de rotacional, para um campo \mathbf{G}=(G_{x},G_{y},G_{z}) temos
\nabla\times\mathbf{G} =\Bigl(\frac{\partial G_{z}}{\partial y}-\frac{\partial G_{y}}{\partial z},\, \frac{\partial G_{x}}{\partial z}-\frac{\partial G_{z}}{\partial x},\, \frac{\partial G_{y}}{\partial x}-\frac{\partial G_{x}}{\partial y}\Bigr).

Passo 4

Aplicando ao campo a\mathbf{F}_{1}+b\mathbf{F}_{2} e usando que a derivada parcial é linear, por exemplo no primeiro componente:
\frac{\partial}{\partial y}(aR_{1}+bR_{2}) -\frac{\partial}{\partial z}(aQ_{1}+bQ_{2}) =a\Bigl(\frac{\partial R_{1}}{\partial y}-\frac{\partial Q_{1}}{\partial z}\Bigr) +b\Bigl(\frac{\partial R_{2}}{\partial y}-\frac{\partial Q_{2}}{\partial z}\Bigr).
Fazendo o mesmo para os outros dois componentes, obtemos exatamente
a\,(\nabla\times\mathbf{F}_{1})+b\,(\nabla\times\mathbf{F}_{2}).

Passo 5

Como cada componente do rotacional de a\mathbf{F}_{1}+b\mathbf{F}_{2} coincide com a combinação a vezes o rotacional de \mathbf{F}_{1} mais b vezes o rotacional de \mathbf{F}_{2}, a identidade está verificada.

Resposta

\nabla \times\bigl(a \mathbf{F}_{1}+b \mathbf{F}_{2}\bigr) = a\,\nabla \times \mathbf{F}_{1} + b\,\nabla \times \mathbf{F}_{2}.

Exercícios relacionados