1. a. Mostre que se as derivadas parciais necessárias dos componentes do campo \mathbf{G}=M \mathbf{i}+N \mathbf{j}+P \mathbf{k} forem contínuas, então \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{G}=0.
    b. Pode-se concluir algo sobre o fluxo do campo \nabla \times \mathbf{G} através de uma superfície fechada? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade fundamental de cálculo vetorial
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{G}) = 0
sob a hipótese de que as derivadas parciais de M,N,P são contínuas. Em seguida, pergunta se podemos concluir algo sobre o fluxo de \nabla \times \mathbf{G} através de uma superfície fechada. Vamos usar a definição de rotacional e divergência e depois o Teorema da Divergência de Gauss.

Passo 2

Escrevemos em componentes o rotacional de \mathbf{G}=M\,\mathbf{i}+N\,\mathbf{j}+P\,\mathbf{k}:
\nabla \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z},\\[6pt] \frac{\partial M}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial x},\\[6pt] \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \end{pmatrix}.
Depois, aplicamos a definição de divergência a esse vetor.]

Passo 3

Calculamos
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{G}) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial x}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr).
Expandindo cada termo, obtemos
\frac{\partial^2 P}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2 N}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2 M}{\partial y\partial z} -\frac{\partial^2 P}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^2 N}{\partial z\partial x} -\frac{\partial^2 M}{\partial z\partial y}.
Como as derivadas parciais mistas são contínuas, vale o teorema de Clairaut, isto é, \frac{\partial^2 P}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 P}{\partial y\partial x}, \frac{\partial^2 N}{\partial x\partial z}=\frac{\partial^2 N}{\partial z\partial x} e \frac{\partial^2 M}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2 M}{\partial z\partial y}.
Cada par de termos iguais aparece com sinais opostos, de modo que a soma é zero. Logo,
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{G})=0.

Passo 4

Para a parte (b), usamos o Teorema da Divergência de Gauss, que diz que o fluxo de um campo vetorial \mathbf{F} através de uma superfície fechada S que delimita um volume V é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Tomando \mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{G} e sabendo que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0 em todo o volume, concluímos que
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{G})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}0\,dV =0.
Isto é, o fluxo de \nabla\times\mathbf{G} através de qualquer superfície fechada é zero.

Resposta

a. \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0.
b. O fluxo de \nabla\times\mathbf{G} através de qualquer superfície fechada é zero.

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