Seja
um campo vetorial diferenciável e seja
uma função escalar diferenciável. Verifique as identidades a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas uma função escalar diferenciável
e um campo vetorial diferenciável
, vale a identidade
Para isso, usaremos a definição de divergência e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Pela definição de divergência,
Aplicando a regra do produto em cada termo, obtemos
e de modo análogo para as derivadas em
e
.
Passo 3
Somando os três resultados:
Reconhecemos
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