Seja \mathbf{F} um campo vetorial diferenciável e seja g(x, y, z) uma função escalar diferenciável. Verifique as identidades a seguir.
\nabla \cdot(g \mathbf{F})=g \nabla \cdot \mathbf{F}+\nabla g \cdot \mathbf{F}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas uma função escalar diferenciável g(x,y,z) e um campo vetorial diferenciável \mathbf{F}(x,y,z), vale a identidade
\nabla\cdot\bigl(g\mathbf{F}\bigr) = g\,\nabla\cdot\mathbf{F} \;+\;\nabla g\cdot\mathbf{F}.
Para isso, usaremos a definição de divergência e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevendo \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}), temos
g\,\mathbf{F} = \bigl(g\,F_{1},\,g\,F_{2},\,g\,F_{3}\bigr).
Pela definição de divergência,
\nabla\cdot\bigl(g\mathbf{F}\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(gF_{1}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(gF_{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(gF_{3}\bigr).
Aplicando a regra do produto em cada termo, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(gF_{1}) = g\,\frac{\partial F_{1}}{\partial x} +F_{1}\,\frac{\partial g}{\partial x},
e de modo análogo para as derivadas em y e z.

Passo 3

Somando os três resultados:
\nabla\cdot\bigl(g\mathbf{F}\bigr) = g\Bigl(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}\Bigr) +\Bigl(F_{1}\frac{\partial g}{\partial x}+F_{2}\frac{\partial g}{\partial y}+F_{3}\frac{\partial g}{\partial z}\Bigr).
Reconhecemos
\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z} = \nabla\cdot\mathbf{F}, \quad F_{1}\frac{\partial g}{\partial x}+F_{2}\frac{\partial g}{\partial y}+F_{3}\frac{\partial g}{\partial z} = \nabla g\cdot\mathbf{F}.
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\nabla\cdot\bigl(g\mathbf{F}\bigr) = g\,\nabla\cdot\mathbf{F} + \nabla g\cdot\mathbf{F}.

Resposta

\nabla\cdot\bigl(g\mathbf{F}\bigr) = g\,\nabla\cdot\mathbf{F} + \nabla g\cdot\mathbf{F}.

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