Considerc o ângulo B A C, com A e B pontos de uma circunferência, e o lado \overrightarrow{A C} tangente a ela. Considere o arco correspondente a esse ângulo como o conjunto formado pelos pontos A e B e pelos pontos da circunferência quc cstão no interior do ângulo. Mostre que a medida de \widehat{B A C} é a metade da medida do arco correspondente.
Passo 1
O enunciado nos dá uma circunferência de centro O, dois pontos A e B sobre ela, e o raio AC é tangente à circunferência em A. Precisamos mostrar que o ângulo \widehat{BAC} vale metade da medida do arco \overset{\frown}{AB}. Para isso, vamos usar que o raio é perpendicular à tangente, que triângulos isósceles têm dois ângulos iguais, e a soma dos ângulos internos de um triângulo.
Passo 2
Seja O o centro da circunferência. Como AC é tangente em A, o raio OA satisfaz
OA \;\perp\; AC.
Passo 3
No triângulo OAB temos OA = OB (são raios). Logo ele é isósceles, o que implica
\angle OAB \;=\;\angle OBA.
Passo 4
Observe que \widehat{BAC} é o complemento de \angle OAB, pois uma reta perpendicular gera ângulos de 90^\circ. Assim,
\angle BAC \;=\; 90^\circ \;-\;\angle OAB.
Passo 5
No triângulo OAB, a soma dos ângulos internos vale 180^\circ. Chamando \theta=\angle OAB e notando que \angle AOB é o ângulo central correspondente ao arco \overset{\frown}{AB}, temos