Considerc o ângulo B A C, com A e B pontos de uma circunferência, e o lado \overrightarrow{A C} tangente a ela. Considere o arco correspondente a esse ângulo como o conjunto formado pelos pontos A e B e pelos pontos da circunferência quc cstão no interior do ângulo. Mostre que a medida de \widehat{B A C} é a metade da medida do arco correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá uma circunferência de centro O, dois pontos A e B sobre ela, e o raio AC é tangente à circunferência em A. Precisamos mostrar que o ângulo \widehat{BAC} vale metade da medida do arco \overset{\frown}{AB}. Para isso, vamos usar que o raio é perpendicular à tangente, que triângulos isósceles têm dois ângulos iguais, e a soma dos ângulos internos de um triângulo.

Passo 2

Seja O o centro da circunferência. Como AC é tangente em A, o raio OA satisfaz
OA \;\perp\; AC.

Passo 3

No triângulo OAB temos OA = OB (são raios). Logo ele é isósceles, o que implica
\angle OAB \;=\;\angle OBA.

Passo 4

Observe que \widehat{BAC} é o complemento de \angle OAB, pois uma reta perpendicular gera ângulos de 90^\circ. Assim,
\angle BAC \;=\; 90^\circ \;-\;\angle OAB.

Passo 5

No triângulo OAB, a soma dos ângulos internos vale 180^\circ. Chamando \theta=\angle OAB e notando que \angle AOB é o ângulo central correspondente ao arco \overset{\frown}{AB}, temos
\angle AOB \;+\;2\theta \;=\;180^\circ.

Passo 6

Da equação acima isolamos \theta:
2\theta = 180^\circ - \angle AOB \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}.
Substituindo em \angle BAC = 90^\circ - \theta, vem
\angle BAC = 90^\circ \;-\;\frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{\angle AOB}{2}.

Passo 7

Mas \angle AOB é precisamente a medida do arco \overset{\frown}{AB}. Portanto
\boxed{\angle BAC = \frac12\;\bigl(\text{medida do arco }\overset{\frown}{AB}\bigr)}.

Resposta

\displaystyle \widehat{BAC}=\tfrac12\,\overset{\frown}{AB}

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