Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
senh x & =sumn=0^+infty x^2 n+1(2 n+1)! & =x+x^33!+x^55!+x^77!+ldots

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para mostrar que
Isso é um exercício de séries de potências (ou séries de Taylor/Maclaurin). Vamos precisar da definição de em termos de exponencial e do desenvolvimento em série de senh x = sumn=0^+infty x^2n+1(2n+1)! .

Passo 2

Definição de :
Já sabemos (ou aceitamos) que
senh x = e^x - e^-x2
Isso vem da série de Maclaurin de e^x = sumk=0^+infty x^kk! e e^-x = sumk=0^+infty (-x)^kk! .

Passo 3

Agora substituímos essas séries na definição de :
Vamos olhar termo a termo:
  • Para senh x = 12l(sumk=0^+inftyx^kk! ;-;sumk=0^+infty(-x)^kk!r) par ( x^2n+1(2n+1)! - l(-x^2n+1(2n+1)!r) = 2,x^2n+1(2n+1)! ), temos em e em . Esses se cancelam na subtração.
  • Para ímpar ( ), temos em e em . Então na subtração fica

Passo 4

Juntando tudo e dividindo por 2 (o fator da definição), sobram só os termos ímpares:

Resposta

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