Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para mostrar que
Isso é um exercício de séries de potências (ou séries de Taylor/Maclaurin). Vamos precisar da definição de em termos de exponencial e do desenvolvimento em série de
.
Passo 2
Definição de :
Já sabemos (ou aceitamos) que
Isso vem da série de Maclaurin de
.
Passo 3
Agora substituímos essas séries na definição de :
Vamos olhar termo a termo:
- Para
par ( ), temos em e em . Esses se cancelam na subtração. - Para
ímpar ( ), temos em e em . Então na subtração fica
Passo 4
Juntando tudo e dividindo por 2 (o fator da definição), sobram só os termos ímpares: