Utilize a expansão em Séries de potências para calcular, com precisão de até três casas decimais, o valor de
Resposta: integral0^1 / 2 e^-t^2 d t approx 0,461

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular
integral0^1/2 e^-t^2,dt
usando expansão em séries de potências, com precisão de 3 casas decimais.
Conteúdo envolvido: série de Maclaurin de , troca de soma e integral (integração termo a termo) e soma de uma série alternada até a convergência em 3 casas decimais.

Passo 2

Começando pela série de Maclaurin:
e^x = sumn=0^inftyx^nn!
basta trocar e^-t^2 = sumn=0^infty(-1)^nn!,t^2n por integral0^1/2 e^-t^2,dt = sumn=0^infty (-1)^nn!integral0^1/2 t^2n,dt = sumn=0^infty(-1)^nn!,(2n+1)l(tfrac12r)^2n+1 , dando
Agora integramos termo a termo de a :

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos e as somas parciais:
n=0:
10!,1l(tfrac12r)^1 = 0,5
Soma parcial: 0,500000
n=1:
-11!,3l(tfrac12r)^3 = -124approx -0,041667
Soma parcial: 0,458333
n=2:
+12!,5l(tfrac12r)^5 = 1320=0,003125
Soma parcial: 0,461458
n=3:
-16cdot7l(tfrac12r)^7 = -15376approx -0,000186
Soma parcial: 0,461272
n=4:
+124cdot9l(tfrac12r)^9 = 1110592approx 0,000009
Soma parcial: 0,461281

Passo 4

Os termos seguintes já são menores que , então a soma parou de mudar até a terceira casa decimal: 0,461.

Resposta

integral0^1/2 e^-t^2,dt approx 0,461

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