Mostre que o desenvolvimento de Taylor de ln (1+x) é dado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série de Taylor de ln(1 + x) é igual a sumn=1^infty(-1)^n+1(x^nn). Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor, que são maneiras de representar funções como somas infinitas de termos calculados a partir de derivadas da função em um ponto específico. Precisaremos conhecer a definição da série de Taylor e como aplicá-la para a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) em torno de x = a é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x - a)^n
onde f^(n)(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.

Passo 3

No nosso caso, queremos a série de Taylor de ln(1 + x) em torno de x = 0. Então, a = 0 e a série fica:
ln(1 + x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) = ln(1 + x) e avaliá-las em x = 0. Vamos ver algumas derivadas para identificar um padrão.
Primeira derivada:
f'(x) = 11 + x
Segunda derivada:
f''(x) = -1(1 + x)^2
Terceira derivada:
f'''(x) = 2(1 + x)^3
Quarta derivada:
f''''(x) = -6(1 + x)^4
E assim por diante.

Passo 5

Observamos que a n-ésima derivada de f(x) é:
f^(n)(x) = (-1)^n-1 (n-1)!(1 + x)^n
Avaliada em x = 0, temos:
f^(n)(0) = (-1)^n-1 (n-1)!

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 (n-1)!n! x^n
Simplificando (n-1)!n! que é igual a 1n, a série fica:
ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn

Resposta

Portanto, mostramos que o desenvolvimento de Taylor de ln(1 + x) é dado por:
ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 ( x^nn )

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