Mostre que o desenvolvimento de Taylor de
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série de Taylor de
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor, que são maneiras de representar funções como somas infinitas de termos calculados a partir de derivadas da função em um ponto específico. Precisaremos conhecer a definição da série de Taylor e como aplicá-la para a função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
No nosso caso, queremos a série de Taylor de
em torno de
. Então,
e a série fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Vamos ver algumas derivadas para identificar um padrão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
E assim por diante.
Passo 5
Observamos que a
-ésima derivada de
é:
Avaliada em
, temos:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
Simplificando
que é igual a
, a série fica:
Resposta
Portanto, mostramos que o desenvolvimento de Taylor de
é dado por: