Mostre as desigualdades a seguir a partir de propriedades dos determinantes.
\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & a_{1}+b_{1}+c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & a_{2}+b_{2}+c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & a_{3}+b_{3}+c_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade entre dois determinantes. As informações dadas são os coeficientes das entradas das matrizes: a_{i},b_{i},c_{i} para i=1,2,3. Especificamente queremos provar que
\left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & a_{1}+b_{1}+c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & a_{2}+b_{2}+c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & a_{3}+b_{3}+c_{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|.

Passo 2

Para ficar mais limpo, definimos os vetores coluna
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{pmatrix}.
Com essa notação a matriz do lado esquerdo tem colunas \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}. Assim podemos escrever o determinante da esquerda como
\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}).

Passo 3

Usamos agora a propriedade de linearidade do determinante em cada coluna: fixadas duas colunas, o determinante é uma forma linear na coluna restante. Em palavras: para quaisquer vetores coluna \mathbf{u},\mathbf{v} e vetores fixos \mathbf{X},\mathbf{Y},
\det(\mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{u}+\mathbf{v}) =\det(\mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{u})+\det(\mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{v}),
e
\det(\mathbf{X},\mathbf{Y},\lambda\mathbf{u})=\lambda\det(\mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{u}).
Aplicando essa linearidade à terceira coluna obtemos
\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}) =\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}) +\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{B}) +\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}).

Passo 4

Agora usamos a propriedade alternante do determinante: se uma matriz tem duas colunas iguais, então seu determinante é zero. A razão rápida é que trocar duas colunas muda o sinal do determinante, mas se as colunas são iguais a matriz não muda; logo o determinante deve ser igual a seu negativo, forçando-o a ser zero. Assim
\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A})=0 \qquad\text{e}\qquad \det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{B})=0.
Substituindo na decomposição do passo anterior sobra apenas o terceiro termo:
\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}) =\det(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}).

Passo 5

Traduzindo de volta para entradas a_{i},b_{i},c_{i}, a igualdade que queríamos demonstrar está provada:
\left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & a_{1}+b_{1}+c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & a_{2}+b_{2}+c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & a_{3}+b_{3}+c_{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|.

Resposta

\left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & a_{1}+b_{1}+c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & a_{2}+b_{2}+c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & a_{3}+b_{3}+c_{3} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|

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