Mostre as desigualdades a seguir a partir de propriedades dos determinantes. \left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & a_{1}+b_{1}+c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & a_{2}+b_{2}+c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & a_{3}+b_{3}+c_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade entre dois determinantes. As informações dadas são os coeficientes das entradas das matrizes: a_{i},b_{i},c_{i} para i=1,2,3. Especificamente queremos provar que
Com essa notação a matriz do lado esquerdo tem colunas \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}. Assim podemos escrever o determinante da esquerda como
Usamos agora a propriedade de linearidade do determinante em cada coluna: fixadas duas colunas, o determinante é uma forma linear na coluna restante. Em palavras: para quaisquer vetores coluna \mathbf{u},\mathbf{v} e vetores fixos \mathbf{X},\mathbf{Y},
Agora usamos a propriedade alternante do determinante: se uma matriz tem duas colunas iguais, então seu determinante é zero. A razão rápida é que trocar duas colunas muda o sinal do determinante, mas se as colunas são iguais a matriz não muda; logo o determinante deve ser igual a seu negativo, forçando-o a ser zero. Assim