Mostre que det \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right)=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{pmatrix}
e pede para mostrar que
\det(M)=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
Informações relevantes: as entradas da matriz são exatamente as mostradas (os símbolos a,b,c são parâmetros quaisquer). A tarefa é provar a igualdade para qualquer a,b,c.

Passo 2

Vou usar operações em colunas que preservam ou transformam o determinante de forma controlada. Lembretes úteis (com explicação):
  • Se substituir uma coluna por ela menos outra coluna, o determinante não se altera. Isso vem da multilinearidade e da propriedade de alternância do determinante.
  • Se uma coluna tem um fator comum t, é possível fatorar t para fora do determinante: por exemplo, se uma coluna é t vezes um vetor, então o determinante é t vezes o determinante com essa coluna dividida por t.
  • A diferença de cubos fatora assim:
b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}).
Essa identidade é útil para obter fatores (b-a) e (c-a).
Aplicando a operação coluna2 := coluna2 - coluna1 e coluna3 := coluna3 - coluna1 (essas operações não alteram o valor do determinante), obtemos
\det(M)=\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ a & b-a & c-a \\\ a^{3} & b^{3}-a^{3} & c^{3}-a^{3} \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora uso a fatoração da diferença de cubos nas entradas da terceira linha:
b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}),\qquad c^{3}-a^{3}=(c-a)(c^{2}+ac+a^{2}).
Logo as colunas 2 e 3 têm fatores (b-a) e (c-a) respectivamente. Posso fatorar esses termos para fora do determinante:
\det(M)=(b-a)(c-a)\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ a & 1 & 1 \\\ a^{3} & b^{2}+ab+a^{2} & c^{2}+ac+a^{2} \end{pmatrix}.

Passo 4

Observe que a primeira linha da matriz dentro do determinante é (1,0,0). Expandindo pela primeira linha (ou simplesmente usando que isso corresponde a eliminar a primeira linha e primeira coluna), obtemos
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ a & 1 & 1 \\\ a^{3} & b^{2}+ab+a^{2} & c^{2}+ac+a^{2} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ b^{2}+ab+a^{2} & c^{2}+ac+a^{2} \end{pmatrix}.
Calculando esse determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ b^{2}+ab+a^{2} & c^{2}+ac+a^{2} \end{pmatrix} =(c^{2}+ac+a^{2})-(b^{2}+ab+a^{2}).

Passo 5

Simplifico a diferença:
(c^{2}+ac+a^{2})-(b^{2}+ab+a^{2})=c^{2}-b^{2}+a(c-b).
Fatorando c-b no resultado:
c^{2}-b^{2}+a(c-b)=(c-b)(c+b)+a(c-b)=(c-b)(c+b+a).
Portanto
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ b^{2}+ab+a^{2} & c^{2}+ac+a^{2} \end{pmatrix}=(c-b)(a+b+c).

Passo 6

Reunindo todos os fatores obtidos:
\det(M)=(b-a)(c-a)\bigl((c-b)(a+b+c)\bigr).
Como a multiplicação é comutativa, rearranjando os fatores obtemos exatamente
\det(M)=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).

Resposta

\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{pmatrix}=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)

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