Mostre que det \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right)=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{pmatrix}
e pede para mostrar que
\det(M)=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
Informações relevantes: as entradas da matriz são exatamente as mostradas (os símbolos a,b,c são parâmetros quaisquer). A tarefa é provar a igualdade para qualquer a,b,c.
Passo 2
Vou usar operações em colunas que preservam ou transformam o determinante de forma controlada. Lembretes úteis (com explicação):
Se substituir uma coluna por ela menos outra coluna, o determinante não se altera. Isso vem da multilinearidade e da propriedade de alternância do determinante.
Se uma coluna tem um fator comum t, é possível fatorar t para fora do determinante: por exemplo, se uma coluna é t vezes um vetor, então o determinante é t vezes o determinante com essa coluna dividida por t.
A diferença de cubos fatora assim:
b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}).
Essa identidade é útil para obter fatores (b-a) e (c-a).
Aplicando a operação coluna2 := coluna2 - coluna1 e coluna3 := coluna3 - coluna1 (essas operações não alteram o valor do determinante), obtemos
Observe que a primeira linha da matriz dentro do determinante é (1,0,0). Expandindo pela primeira linha (ou simplesmente usando que isso corresponde a eliminar a primeira linha e primeira coluna), obtemos