Seja A=\left(a_{i j}\right) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}p, \text { se } i=j \\\\ 2 p, \text { se } i \neq j\end{array} \quad\right.,onde p é inteiro positivo. Mostre que, necessariamente, \operatorname{det}(A) é múltiplo de 5 .

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A=\bigl(a_{ij}\bigr)\) de ordem \(3\) com entradas \[a_{ij}=\begin{cases} p, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2p, & \text{se } i\neq j, \end{cases}
onde p\] é um inteiro positivo. A pergunta é: mostrar que \(\det(A) é múltiplo de 5.
Informações relevantes a usar: a definição explícita das entradas de A e propriedades básicas do determinante (como fatorização por escalar e cálculo do determinante de uma matriz 3\times3).]

Passo 2

Fatorar p\) de todas as entradas é a ideia mais direta. Como cada entrada de \(A\) tem um fator \(p\), podemos escrever \(A=pB\), onde a matriz \(B=\bigl(b_{ij}\bigr)\) tem \[b_{ij}=\begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Usamos agora a propriedade do determinante: para uma matriz n\times n\] e escalar \(c vale \det(cM)=c^{n}\det(M). Aplicando com n=3 e c=p obtemos
\det(A)=\det(pB)=p^{3}\det(B).
Portanto basta mostrar que \det(B) é múltiplo de 5.]

Passo 3

Vamos calcular \det(B) explicitamente. Escrevendo B:
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Para uma matriz 3\times3 podemos usar a regra de Sarrus: se
M=\begin{pmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\[4pt] m_{21}&m_{22}&m_{23}\\[4pt] m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{pmatrix},
então
\det(M)=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32} - \bigl(m_{13}m_{22}m_{31}+m_{11}m_{23}m_{32}+m_{12}m_{21}m_{33}\bigr).]

Passo 4

Aplicando a fórmula de Sarrus em B, computamos termo a termo (cada produto mostrado passo a passo):
Termos positivos:
\begin{aligned} m_{11}m_{22}m_{33} &= 1\cdot 1\cdot 1 = 1,\\[4pt] m_{12}m_{23}m_{31} &= 2\cdot 2\cdot 2 = 8,\\[4pt] m_{13}m_{21}m_{32} &= 2\cdot 2\cdot 2 = 8. \end{aligned}
Soma dos positivos:
1+8+8=17.
Termos negativos:
\begin{aligned} m_{13}m_{22}m_{31} &= 2\cdot 1\cdot 2 = 4,\\[4pt] m_{11}m_{23}m_{32} &= 1\cdot 2\cdot 2 = 4,\\[4pt] m_{12}m_{21}m_{33} &= 2\cdot 2\cdot 1 = 4. \end{aligned}
Soma dos negativos:
4+4+4=12.
Portanto
\det(B)=17-12=5.]

Passo 5

Voltando à relação do Passo 2, \det(A)=p^{3}\det(B). Substituindo o valor encontrado:
\det(A)=p^{3}\cdot 5=5p^{3}.
Como p é inteiro, 5p^{3} é múltiplo de 5. Assim \det(A) é necessariamente múltiplo de 5.

Resposta

\det(A)=5p^{3}

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