Seja A=\left(a_{i j}\right) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}p, \text { se } i=j \\\\ 2 p, \text { se } i \neq j\end{array} \quad\right.,onde p é inteiro positivo. Mostre que, necessariamente, \operatorname{det}(A) é múltiplo de 5 .
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada A=\bigl(a_{ij}\bigr)\) de ordem \(3\) com entradas
\[a_{ij}=\begin{cases} p, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2p, & \text{se } i\neq j, \end{cases}
onde p\] é um inteiro positivo.
A pergunta é: mostrar que \(\det(A) é múltiplo de 5.
Informações relevantes a usar: a definição explícita das entradas de A e propriedades básicas do determinante (como fatorização por escalar e cálculo do determinante de uma matriz 3\times3).]
Passo 2
Fatorar p\) de todas as entradas é a ideia mais direta. Como cada entrada de \(A\) tem um fator \(p\), podemos escrever \(A=pB\), onde a matriz \(B=\bigl(b_{ij}\bigr)\) tem
\[b_{ij}=\begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Usamos agora a propriedade do determinante: para uma matriz n\times n\] e escalar \(c vale \det(cM)=c^{n}\det(M). Aplicando com n=3 e c=p obtemos
\det(A)=\det(pB)=p^{3}\det(B).
Portanto basta mostrar que \det(B) é múltiplo de 5.]