Mostre que E deve exceder o valor mínimos de V(x) para qualquer solução de quadrado integrável (normalizável) da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual o análogo clássico a esta afirmação? Dica: Reescreva a eq. de Schrödinger independente do tempo como
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}[V(x)-E] \psi
Se E<V_{\text {min }}, então \psi e sua derivada segunda possuem sempre o mesmo sinal. Por que tal função não pode ser normalizada?

Passo 1

O enunciado dá a equação de Schrödinger independente do tempo reescrita como
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\frac{2m}{\hbar^{2}}\,[V(x)-E]\,\psi(x).
O que se pede: mostrar que, para existir uma solução \psi(x) quadrado-integrável (normalizável) não trivial, a energia E não pode ser menor que o valor mínimo do potencial V(x). Em outras palavras: provar que não existe solução normalizável se E<V_{\min}. A dica diz: suponha E<V_{\min} e use o fato de que \psi e \psi'' têm sempre o mesmo sinal; a tarefa é explicar por que isso impede normalização.
Lista das informações relevantes:
\text{Dado: }\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\frac{2m}{\hbar^{2}}[V(x)-E]\psi(x).
\text{Desejo: provar que não há \(\psi\in L^{2}(\mathbb{R})\) não nula se }E<V_{\min}.ãáã

Passo 2

Defina a função
k(x):=\frac{2m}{\hbar^{2}}[V(x)-E].
Se E<V_{\min}, então para todo x temos V(x)-E\ge V_{\min}-E>0, logo
k(x)>0\quad\text{para todo }x.
Assim a equação fica
\psi''(x)=k(x)\,\psi(x)\qquad\text{com }k(x)>0.
Isto quer dizer que, ponto a ponto, \psi'' tem o mesmo sinal que \psi: quando \psi(x)>0 então \psi''(x)>0; quando \psi(x)<0 então \psi''(x)<0.

Passo 3

Multiplique a equação por \psi(x) e integre em um intervalo simétrico [-R,R]. Obtemos
\int_{-R}^{R}\psi(x)\psi''(x)\,dx=\frac{2m}{\hbar^{2}}\int_{-R}^{R}[V(x)-E]\,\psi^{2}(x)\,dx.
Faço integração por partes no lado esquerdo. Lembrando a fórmula \int u\,v''=\big[u v'\big]-\int u'v', com u=\psi e v'=\psi', temos
\int_{-R}^{R}\psi\,\psi''\,dx=\big[\psi(x)\psi'(x)\big]_{-R}^{R}-\int_{-R}^{R}(\psi'(x))^{2}\,dx.
Portanto
\big[\psi\psi'\big]_{-R}^{R}-\int_{-R}^{R}(\psi')^{2}\,dx=\frac{2m}{\hbar^{2}}\int_{-R}^{R}[V(x)-E]\,\psi^{2}(x)\,dx.

Passo 4

Agora fazemos R\to\infty. Para uma função de onda normalizável \psi\in L^{2}(\mathbb{R}) que satisfaça a equação diferencial com potencial razoável (contínuo, por exemplo), vale que \psi(x)\to 0 quando |x|\to\infty. Além disso, soluções regulares da equação de Schrödinger têm derivadas controladas e tipicamente \psi'(x)\to 0 quando |x|\to\infty; em termos técnicos, \psi de autovalor pertence ao espaço de Sobolev H^{2} e então \psi'\in L^{2}. Com isto (ou com um argumento via desigualdade de Cauchy–Schwarz aplicando-se em faixas que tendem ao infinito) o termo de fronteira tende a zero:
\lim_{R\to\infty}\big[\psi\psi'\big]_{-R}^{R}=0.
Assim, passando ao limite R\to\infty na identidade do passo anterior, obtemos
- \int_{-\infty}^{\infty}(\psi'(x))^{2}\,dx=\frac{2m}{\hbar^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}[V(x)-E]\,\psi^{2}(x)\,dx.

Passo 5

Observe agora as propriedades dos dois lados da última igualdade:
  • O lado esquerdo é -\int_{-\infty}^{\infty}(\psi')^{2}\,dx\le 0, e é estritamente negativo se \psi' não for identicamente zero.
  • Se E<V_{\min}, então V(x)-E>0 para todo x, logo o integrando do lado direito é estritamente positivo sempre que \psi(x)\neq 0 em algum conjunto de medida positiva. Portanto o lado direito é estritamente positivo para qualquer \psi não nula em L^{2}.
Temos então uma contradição: o lado esquerdo é não-positivo enquanto o lado direito é estritamente positivo. A única forma de evitar a contradição seria ter ambas as integrais nulas, o que exigiria \psi'\equiv 0 e (V-E)\psi^{2}\equiv 0. Da primeira condição vem \psi constante; da segunda, como V-E>0 em todo lugar, essa constante teria de ser zero. Ou seja, a única solução é \psi\equiv 0, solução trivial não normalizável no sentido de não representar um estado físico. Conclusão: não existe solução quadrado-integrável não trivial se E<V_{\min}.

Passo 6

Portanto para existir uma solução normalizável não-trivial temos necessariamente E\ge V_{\min}. Além disso, pelo argumento acima, o caso E=V_{\min} também só permite solução não-trivial em situações degenerate (por exemplo, se V(x)=V_{\min} numa região de extensão infinita), de modo que, para autovalores ligados físicos típicos, de fato E>V_{\min}. Ou seja, de forma prática: um autovalor associado a um estado normalizável não pode ficar estritamente abaixo do mínimo do potencial.

Passo 7

No caso clássico a energia total é soma da energia cinética T e do potencial:
E=T+V(x)=\frac{p^{2}}{2m}+V(x).
Para que a velocidade (ou o momento p) seja real é necessário T\ge 0, isto é
E-V(x)\ge 0.
Assim, se E<V_{\min} então E<V(x) para todo x e a quantidade E-V(x) seria negativa sempre — isto significa momento imaginário, ou seja, não existe movimento clássico em lugar algum. Esse é o análogo clássico: uma partícula clássica não pode existir (não pode transportar-se) se sua energia total for inferior ao mínimo do potencial. No caso quântico há, porém, possibilidade de penetração em regiões “clássicamente proibidas” (tunelamento), mas mesmo assim não se pode ter um autovalor ligado com E<V_{\min}, conforme mostramos.

Resposta

E>V_{\min} (para existir solução normalizável não-trivial).\nAnálogo clássico: a energia total deve satisfazer E\ge V_{\min} para que exista movimento clássico (energia cinética não negativa).

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