Mostre que
deve exceder o valor mínimos de
para qualquer solução de quadrado integrável (normalizável) da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual o análogo clássico a esta afirmação? Dica: Reescreva a eq. de Schrödinger independente do tempo como
Se
, então
e sua derivada segunda possuem sempre o mesmo sinal. Por que tal função não pode ser normalizada?
Passo 1
O enunciado dá a equação de Schrödinger independente do tempo reescrita como
O que se pede: mostrar que, para existir uma solução
quadrado-integrável (normalizável) não trivial, a energia
não pode ser menor que o valor mínimo do potencial
. Em outras palavras: provar que não existe solução normalizável se
. A dica diz: suponha
e use o fato de que
e
têm sempre o mesmo sinal; a tarefa é explicar por que isso impede normalização.
Lista das informações relevantes:
Passo 2
Defina a função
Se
, então para todo
temos
, logo
Assim a equação fica
Isto quer dizer que, ponto a ponto,
tem o mesmo sinal que
: quando
então
; quando
então
.
Passo 3
Multiplique a equação por
e integre em um intervalo simétrico
. Obtemos
Faço integração por partes no lado esquerdo. Lembrando a fórmula
, com
e
, temos
Portanto
Passo 4
Agora fazemos
. Para uma função de onda normalizável
que satisfaça a equação diferencial com potencial razoável (contínuo, por exemplo), vale que
quando
. Além disso, soluções regulares da equação de Schrödinger têm derivadas controladas e tipicamente
quando
; em termos técnicos,
de autovalor pertence ao espaço de Sobolev
e então
. Com isto (ou com um argumento via desigualdade de Cauchy–Schwarz aplicando-se em faixas que tendem ao infinito) o termo de fronteira tende a zero:
Assim, passando ao limite
na identidade do passo anterior, obtemos
Passo 5
Observe agora as propriedades dos dois lados da última igualdade:
- O lado esquerdo é
, e é estritamente negativo se não for identicamente zero. - Se
, então para todo , logo o integrando do lado direito é estritamente positivo sempre que em algum conjunto de medida positiva. Portanto o lado direito é estritamente positivo para qualquer não nula em .
Temos então uma contradição: o lado esquerdo é não-positivo enquanto o lado direito é estritamente positivo. A única forma de evitar a contradição seria ter ambas as integrais nulas, o que exigiria
e
. Da primeira condição vem
constante; da segunda, como
em todo lugar, essa constante teria de ser zero. Ou seja, a única solução é
, solução trivial não normalizável no sentido de não representar um estado físico. Conclusão: não existe solução quadrado-integrável não trivial se
.
Passo 6
Portanto para existir uma solução normalizável não-trivial temos necessariamente
. Além disso, pelo argumento acima, o caso
também só permite solução não-trivial em situações degenerate (por exemplo, se
numa região de extensão infinita), de modo que, para autovalores ligados físicos típicos, de fato
. Ou seja, de forma prática: um autovalor associado a um estado normalizável não pode ficar estritamente abaixo do mínimo do potencial.
Passo 7
No caso clássico a energia total é soma da energia cinética
e do potencial:
Para que a velocidade (ou o momento
) seja real é necessário
, isto é
Assim, se
então
para todo
e a quantidade
seria negativa sempre — isto significa momento imaginário, ou seja, não existe movimento clássico em lugar algum. Esse é o análogo clássico: uma partícula clássica não pode existir (não pode transportar-se) se sua energia total for inferior ao mínimo do potencial. No caso quântico há, porém, possibilidade de penetração em regiões “clássicamente proibidas” (tunelamento), mas mesmo assim não se pode ter um autovalor ligado com
, conforme mostramos.