Prove os seguintes teoremas (importantes!!):
A função de onda independente do tempo, \psi(x) sempre pode ser suposta real (enquanto \Psi(x, t) sempre possui uma parte complexa, necessariamente). Isto não significa que toda solução da equação de Schrödinger independente do tempo seja real, apenas que qualquer solução complexa da equação de Schrödinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear (complexa) apropriada de soluções reais à mesma energia. Assim, sempre se podem simplesmente considerar os \psi(x) como reais. Dica: Trabalhe com a seguinte ideia. Se \psi(x) (complexa) é solução da equação de Schrödinger, \psi^{*}(x) também será solução à mesma energia E. Então, em lugar de se trabalhar com \psi(x) e \psi^{*}(x), pode-se trablahar com as combinações \left(\psi+\psi^{*}\right) e -i\left(\psi-\psi^{*}\right). Lembre das duas maneiras de se expressarem soluções da equação diferencial \ddot{x}+x=0: x=A e^{i x}+B e^{-i x} ou x=a \cos (x)+b \sin (x).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Pede-se que se prove a afirmação: a função de onda independente do tempo \psi(x) sempre pode ser tomada como real (isto é, qualquer solução complexa da equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como combinação linear adequada de soluções reais à mesma energia).\n
  • Pede-se também a observação sobre a função de onda dependente do tempo \Psi(x,t), isto é, que ela sempre possui uma parte complexa (necessariamente), ao contrário do caso independente do tempo.\n
  • Informações dadas/úteis (da dica): se \psi(x) é uma solução (complexa) da equação de Schrödinger independente do tempo com energia E, então \psi^{*}(x) (conjugada complexa) também é solução da mesma equação e com a mesma energia E. A dica sugere considerar as combinações \psi+\psi^{*} e -i(\psi-\psi^{*}).\n
    Não vou resolver nada ainda aqui; apenas listei claramente o pedido e as informações que o enunciado fornece.

Passo 2

Escrevendo a equação e lembrando linearidade e conjugação.\n
A equação de Schrödinger independente do tempo (unidimensional, potencial real V(x)) é
\hat H\psi(x)=E\psi(x),
onde definimos o operador hamiltoniano
\hat H \equiv -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V(x).
Explicação: \hat H é um operador diferencial com coeficientes reais (porque V(x) é real). “Linearidade” significa que, se \phi_{1} e \phi_{2} são soluções da mesma equação homogênea \hat H\varphi=E\varphi, então qualquer combinação linear a\phi_{1}+b\phi_{2} (com a,b complexos) também é solução, pois \hat H age linearmente.\n
Agora mostro por que, se \psi(x) é solução, \psi^{*}(x) também é. Se
\hat H\psi(x)=E\psi(x),
tomando conjugado complexo de ambos os lados (lembre: \hat H tem coeficientes reais, então conjugar apenas afeta \psi e E):
(\hat H\psi(x))^{*}=\hat H\psi^{*}(x)=E^{*}\psi^{*}(x).
Para estados ligados em mecânica quântica estacionária E é real, então E^{*}=E. Logo
\hat H\psi^{*}(x)=E\psi^{*}(x).
Portanto \psi^{*}(x) é também solução com mesma energia E. (Se V fosse complexa isso não valeria; por isso precisamos de V(x) real.)

Passo 3

Construindo as partes real e imaginária e provando que elas são soluções reais.\n
Definimos a parte real e a parte imaginária de \psi pelas fórmulas usuais (toda função complexa pode ser escrita assim):
\operatorname{Re}\psi(x)=\frac{\psi(x)+\psi^{*}(x)}{2}, \qquad \operatorname{Im}\psi(x)=\frac{\psi(x)-\psi^{*}(x)}{2i}.
Comentário didático: \operatorname{Re}\psi(x) e \operatorname{Im}\psi(x) são funções reais ponto a ponto, porque somamos/ subtraímos conjugadas e dividimos por constantes reais.\n
Agora uso linearidade: como \psi e \psi^{*} são soluções, qualquer combinação linear delas também é solução. Assim \operatorname{Re}\psi e \operatorname{Im}\psi satisfazem
\hat H(\operatorname{Re}\psi)=E(\operatorname{Re}\psi), \qquad \hat H(\operatorname{Im}\psi)=E(\operatorname{Im}\psi).
Conclusão desta etapa: \operatorname{Re}\psi e \operatorname{Im}\psi são duas soluções reais da equação de Schrödinger para a mesma energia E.

Passo 4

Reescrevendo a solução complexa como combinação das soluções reais.\n
Agora escrevemos explicitamente \psi em termos de suas partes real e imaginária:
\psi(x)=\operatorname{Re}\psi(x)+i\,\operatorname{Im}\psi(x).
Como ambas \operatorname{Re}\psi e \operatorname{Im}\psi são soluções reais ao mesmo E, mostramos que qualquer solução complexa \psi é uma combinação linear (complexa) de duas soluções reais ao mesmo E. Portanto, se quisermos, podemos trabalhar apenas com soluções reais: em vez de \psi complexa usamos as duas reais \operatorname{Re}\psi e \operatorname{Im}\psi como base do espaço de soluções (para aquela energia).\n
Observação prática: se \operatorname{Im}\psi\equiv 0 então \psi já é real; se \operatorname{Re}\psi\equiv 0 então \psi é puramente imaginária e -i\psi é real. O único caso em que ambas \operatorname{Re}\psi e \operatorname{Im}\psi são nulas é \psi\equiv 0 (solução trivial). Logo não perdemos soluções não-triviais ao escolher representações reais.

Passo 5

Comentário sobre degenerescência e escolha de fase global (caso especial mas útil).\n
Se a energia E for não degenerada (autovalor simples), qualquer autovetor (autofunção) é determinado apenas até uma constante complexa multiplicativa. Nesse caso, se \psi é solução então \psi^{*} também é solução; mas por não-degenerescência \psi^{*} deve ser proporcional a \psi: existe c\in\mathbb{C} tal que \psi^{*}=c\psi. Tomando módulo em ambos os lados e usando |\psi^{*}|=|\psi| obtemos |c|=1, logo c=e^{i\theta} é um fator de fase. Então podemos multiplicar \psi por e^{-i\theta/2} (ou por uma fase adequada) para remover a fase fixa e tornar a função real. Em outras palavras: para autovalor não degenerado pode-se sempre escolher a autofunção como real (multiplicando por uma fase constante).\n
Se houver degenerescência (espaço de autofunções tem dimensão >1), podemos escolher uma base real do subespaço (por exemplo pela decomposição em partes reais e imaginárias de quaisquer geradores do subespaço), porque o operador \hat H é real-simétrico (para V real) e admite uma base de soluções reais nesse subespaço. Assim, também nesse caso é possível trabalhar com soluções reais (escolhendo combinações lineares adequadas).

Passo 6

Por que \Psi(x,t) necessariamente tem parte complexa (a dependência temporal). \n
A solução estacionária dependente do tempo é
\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar},
onde \psi(x) é a solução da equação independente do tempo. Mesmo que tenhamos escolhido \psi(x) real, o fator temporal e^{-iEt/\hbar} é um exponencial complexo que depende de t. Portanto, salvo casos triviais (por exemplo \psi\equiv 0 ou E=0 no qual e^{-iEt/\hbar}=1 é real constante), \Psi(x,t) é obrigatoriamente complexa para tempos gerais: a dependência temporal insere uma fase complexa -Et/\hbar. Isso mostra a distinção: \psi(x) pode ser tomada real, mas \Psi(x,t) em geral tem parte complexa essencial.\n
Exemplo simples e ilustrativo (analogia com a dica): para a equação \ddot x + x = 0, podemos escrever soluções como A e^{it}+B e^{-it} (complexas) ou como a\cos t + b\sin t (reais). Analogamente, para a parte espacial da equação de Schrödinger com V real podemos preferir a base real \operatorname{Re}\psi e \operatorname{Im}\psi, mas o fator temporal e^{-iEt/\hbar} é intrinsecamente complexo.

Resposta

Qualquer solução complexa \psi(x) da equação de Schrödinger independente do tempo (com V(x) real) pode ser escrita como combinação linear de duas soluções reais à mesma energia, especificamente
\operatorname{Re}\psi(x)=\frac{\psi+\psi^{*}}{2},\qquad \operatorname{Im}\psi(x)=\frac{\psi-\psi^{*}}{2i},
ambas satisfazendo \hat H\varphi=E\varphi; portanto podemos sempre tomar as funções de onda espaciais \psi(x) como reais (até escolha de fase e combinações lineares).\
A solução dependente do tempo \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar} possui, em geral, uma parte complexa devido ao fator temporal e^{-iEt/\hbar} (exceto nos casos triviais como \psi\equiv0 ou E=0).

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