Mostre que as diagonais de um paralelogramo equilátero (losango) são perpendiculares.

Passo a passo (guiado)

(a) Represente os lados adjacentes por vetores \vec{a} e \vec{b} com \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|.
(b) As diagonais são \vec{d}_{1}=\vec{a}+\vec{b} e \vec{d}_{2}=\vec{a}-\vec{b}.
(c) Mostre que \vec{d}_{1} \cdot \vec{d}_{2}=\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num paralelogramo equilátero (losango), as diagonais são perpendiculares. O conteúdo que vamos usar é representação vetorial de lados iguais e o critério de perpendicularidade via produto escalar. Precisamos de vetores \vec{a} e \vec{b} com \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|.

Passo 2

Representamos os dois lados adjacentes do losango por vetores \vec{a} e \vec{b}, de modo que o módulo de cada um seja igual, isto é,
\|\vec{a}\| \;=\;\|\vec{b}\|.

Passo 3

As diagonais do paralelogramo são dadas pelas somas e diferenças desses vetores:
\vec{d}_{1} \;=\;\vec{a} + \vec{b}, \qquad \vec{d}_{2} \;=\;\vec{a} - \vec{b}.

Passo 4

Para verificar se \vec{d}_{1} é perpendicular a \vec{d}_{2}, calculamos o produto escalar:
\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{2} =(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) =\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b} =\|\vec{a}\|^{2}-\|\vec{b}\|^{2}.
Como \|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|, segue que
\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{2}=0,
logo as diagonais são perpendiculares.

Resposta

As diagonais de um losango são perpendiculares.

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