Mostre que as diagonais de um paralelogramo equilátero (losango) são perpendiculares.
Passo a passo (guiado)
(a) Represente os lados adjacentes por vetores
e
com
.
(b) As diagonais são
e
.
(c) Mostre que
.
(b) As diagonais são
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num paralelogramo equilátero (losango), as diagonais são perpendiculares. O conteúdo que vamos usar é representação vetorial de lados iguais e o critério de perpendicularidade via produto escalar. Precisamos de vetores
e
com
.
Passo 2
Representamos os dois lados adjacentes do losango por vetores
e
, de modo que o módulo de cada um seja igual, isto é,
Passo 3
As diagonais do paralelogramo são dadas pelas somas e diferenças desses vetores:
Passo 4
Para verificar se
é perpendicular a
, calculamos o produto escalar:
Como
, segue que
logo as diagonais são perpendiculares.
Resposta
As diagonais de um losango são perpendiculares.