Mostre que o volume de um paralelepípedo com arestas dadas por \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} é
V=|\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})| .
Passo a passo (guiado)
(a) Interprete \|\vec{B} \times \vec{C}\| como a área da base (paralelogramo).
(b) Projete \vec{A} na direção normal à base: altura h=\frac{\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})}{\|\vec{B} \times \vec{C}\|}.
(c) Multiplique base \times altura e justifique o valor absoluto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o volume de um paralelepípedo cujas arestas são os vetores \vec A, \vec B e \vec C é dado por
V = \bigl|\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)\bigr|.
O conteúdo que vamos usar é a interpretação geométrica do produto vetorial (que dá área de paralelogramo) e do produto escalar (que projeta um vetor sobre outro).
Passo 2
Escolhemos como base do paralelepípedo o paralelogramo gerado por \vec B e \vec C. A área dessa base vale
\|\vec B \times \vec C\|,
pois a magnitude do produto vetorial \vec B \times \vec C é exatamente a área do paralelogramo de lados \vec B e \vec C.
Passo 3
A altura do paralelepípedo é a projeção do vetor \vec A sobre a direção normal à base. Um vetor normal unitário à base é
\hat n = \frac{\vec B \times \vec C}{\|\vec B \times \vec C\|}.
A projeção de \vec A em \hat n é
h = \vec A \cdot \hat n = \vec A \cdot \frac{\vec B \times \vec C}{\|\vec B \times \vec C\|} = \frac{\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)}{\|\vec B \times \vec C\|}.
Passo 4
O volume do paralelepípedo é base vezes altura. Logo
V = (\text{área da base}) \times h = \|\vec B \times \vec C\| \times \frac{\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)}{\|\vec B \times \vec C\|} = \vec A \cdot (\vec B \times \vec C).á
Como volume é sempre não-negativo, tomamos o valor absoluto:
V = \bigl|\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)\bigr|.
Resposta
V = \bigl|\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)\bigr|.