Usando o produto vetorial, prove a lei dos senos para um triângulo de lados a, b, c e ângulos opostos \alpha, \beta, \gamma :
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}

Passo a passo (guiado)

(a) Interprete a, b, c como magnitudes de vetores nas direções dos lados.
(b) Use \|\vec{u} \times \vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \sin \angle(\vec{u}, \vec{v}) para pares de lados.
(c) Note que 2 \Delta=\|\vec{u} \times \vec{v}\| (área do triângulo) é a mesma para qualquer par; iguale as expressões e isole a / \sin \alpha, etc.

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei dos senos
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}
num triângulo de lados a,b,c e ângulos opostos \alpha,\beta,\gamma, usando produto vetorial. Vamos precisar da fórmula
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\!\bigl(\angle(\vec{u},\vec{v})\bigr)
e da interpretação de área de triângulo em termos de produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos um triângulo com vértices A,B,C e lados BC=a, CA=b, AB=c. No vértice A, os vetores formadores dos lados são \vec{AB} e \vec{AC}, cujas magnitudes valem \|\vec{AB}\|=c e \|\vec{AC}\|=b, e o ângulo entre eles é \alpha. Pelo produto vetorial,
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| =\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\alpha =b\,c\,\sin\alpha.

Passo 3

Sabemos que a área \Delta do triângulo é metade da área do paralelogramo gerado por \vec{AB} e \vec{AC}, ou seja,
2\Delta=\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=b\,c\,\sin\alpha.
Análogamente, usando os pares de lados em B e em C, obtemos
2\Delta=a\,c\,\sin\beta, \qquad 2\Delta=a\,b\,\sin\gamma.

Passo 4

Como todas as expressões valem 2\Delta, temos
b\,c\,\sin\alpha = a\,c\,\sin\beta = a\,b\,\sin\gamma.
Basta agora dividir cada igualdade pelos termos adequados para isolar as razões. Por exemplo, dividindo b\,c\,\sin\alpha = a\,c\,\sin\beta por c\,\sin\alpha, segue
b = a\,\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}.
Fazendo o mesmo para as outras igualdades, concluímos a lei dos senos.

Resposta

\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.

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