Usando o produto vetorial, prove a lei dos senos para um triângulo de lados
e ângulos opostos
:
Passo a passo (guiado)
(a) Interprete
como magnitudes de vetores nas direções dos lados.
(b) Use
para pares de lados.
(c) Note que
(área do triângulo) é a mesma para qualquer par; iguale as expressões e isole
, etc.
(b) Use
(c) Note que
Passo 1
O enunciado pede para provar a lei dos senos
num triângulo de lados
e ângulos opostos
, usando produto vetorial. Vamos precisar da fórmula
e da interpretação de área de triângulo em termos de produto vetorial.
Passo 2
Escolhemos um triângulo com vértices
e lados
,
,
. No vértice
, os vetores formadores dos lados são
e
, cujas magnitudes valem
e
, e o ângulo entre eles é
. Pelo produto vetorial,
Passo 3
Sabemos que a área
do triângulo é metade da área do paralelogramo gerado por
e
, ou seja,
Análogamente, usando os pares de lados em
e em
, obtemos
Passo 4
Como todas as expressões valem
, temos
Basta agora dividir cada igualdade pelos termos adequados para isolar as razões. Por exemplo, dividindo
por
, segue
Fazendo o mesmo para as outras igualdades, concluímos a lei dos senos.