E.3- Se
nabla cdot E & =0 nabla times E & =-partialpartial t H nabla cdot H & =0 nabla times H & =partialpartial t E
mostre que
nabla^2 E=partial^2partial t^2 E e nabla^2 H=partial^2partial t^2 H
Dica: Use a relação (1.2.65c) e a regra do produto para nabla times E e nabla times H.

Passo 1

O enunciado dá as equações de Maxwell no vácuo:
nablacdotE=0, nablatimesE=-partialHpartial t, nablacdotH=0, nablatimesH=partialEpartial t
Queremos mostrar que tanto E quanto H satisfazem a equação de onda
nabla^2E=partial^2Epartial t^2 e nabla^2H=partial^2Hpartial t^2
Para isso vamos usar a identidade vetorial
nablatimes(nablatimesA) =nabla(nablacdotA)-nabla^2A,
e o fato de que nabla e partial/partial t comutam.

Passo 2

Aplicamos nablatimes sobre nablatimesE. Primeiro pela identidade:
nablatimes(nablatimesE) =nabla(nablacdotE)-nabla^2E =-nabla^2E,
pois nablacdotE=0. Por outro lado, usando nablatimesE=-partialH/partial t e comutando derivadas,
nablatimes(nablatimesE) =nablatimesl(-partialHpartial tr) =-partialpartial t(nablatimesH) =-partialpartial tl(partialEpartial tr) =-partial^2Epartial t^2
Igualando as duas expressões:
-nabla^2E =-partial^2Epartial t^2 Longrightarrow nabla^2E=partial^2Epartial t^2

Passo 3

De forma análoga, para H temos pela identidade
nablatimes(nablatimesH) =nabla(nablacdotH)-nabla^2H =-nabla^2H,
e usando nablatimesH=partialE/partial t:
nablatimes(nablatimesH) =nablatimesl(partialEpartial tr) =partialpartial t(nablatimesE) =partialpartial tl(-partialHpartial tr) =-partial^2Hpartial t^2
Igualando,
-nabla^2H =-partial^2Hpartial t^2 Longrightarrow nabla^2H=partial^2Hpartial t^2

Resposta

nabla^2E=partial^2Epartial t^2 e nabla^2H=partial^2Hpartial t^2

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