Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Divergente:
nabla cdot V & =partial Vrpartial r+2r Vr+1r partial Vthetapartial theta+1r cos thetasen theta Vtheta+1r sen theta partial Vvarphipartial varphi & =1r^2 partialpartial r(r^2 Vr)+1r sen theta partialpartial theta(sen theta Vtheta)+1r sen theta partialpartial varphi Vvarphi
Dica: Siga os mesmos passos que utilizamos para construir as expressões para estes operadores em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a expressão do divergente do campo vetorial
vec V = Vr,hat er + Vtheta,hat etheta + Vvarphi,hat evarphi
em coordenadas esféricas (r,theta,varphi). O conteúdo é cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais, e vamos usar a fórmula geral do divergente usando os fatores de escala (ou “metric factors”) dessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as variáveis
;q1=r,;q2=theta,;q3=varphi\n
e os fatores de escala
hr=1, htheta=r, hvarphi=rsintheta
O volume elementar é
hr,htheta,hvarphi=r^2sintheta

Passo 3

A fórmula geral do divergente em coordenadas ortogonais é
nabla!cdot!vec V =1h1h2h3 sumi=1^3 partialpartial qi l(h1h2h3hi,Vir)
Aplicando h1h2h3=r^2sintheta e as componentes Vr,Vtheta,Vvarphi, cada parcela é:
  • Para i=1 ( r): dfrach2h3h1=dfracr,(rsintheta)1=r^2sintheta.
  • Para i=2 ( theta): dfrach1h3h2=dfrac1,(rsintheta)r=sintheta.
  • Para i=3 ( varphi): dfrach1h2h3=dfrac1cdot rrsintheta=1sintheta

Passo 4

Substituindo na fórmula:
nabla!cdot!vec V =1r^2sinthetal[ partialpartial rl(r^2sintheta,Vrr) +partialpartial thetal(r^2sintheta;Vthetarr) +partialpartial varphil(r^2sintheta;Vvarphirsinthetar) r]
Simplificando cada termo:
partialpartial thetal(r^2sintheta;Vthetarr) =r;partialpartial thetal(sintheta,Vthetar), partialpartial varphil(r^2sintheta;Vvarphirsinthetar) =r;partial Vvarphipartial varphi
Logo obtemos a forma mista:
nabla!cdot!vec V =1r^2sinthetal[ partialpartial rl(r^2sintheta,Vrr) +partialpartial thetal(rsintheta,Vthetar) +partialpartial varphil(r,Vvarphir) r]
Distribuindo 1/(r^2sintheta) e tirando fatores que não dependem da variável de derivação, chega-se à forma mais comum:
nabla!cdot!vec V =1r^2partialpartial rl(r^2Vrr) +1rsinthetapartialpartial thetal(sintheta,Vthetar) +1rsinthetapartial Vvarphipartial varphi

Resposta

nabla!cdot!vec V =1r^2sinthetal[ partialpartial rl(r^2sintheta,Vrr) +partialpartial thetal(rsintheta,Vthetar) +partialpartial varphil(r,Vvarphir) r] =1r^2partialpartial rl(r^2Vrr) +1rsinthetapartialpartial thetal(sintheta,Vthetar) +1rsinthetapartial Vvarphipartial varphi

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