Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Divergente:
Dica: Siga os mesmos passos que utilizamos para construir as expressões para estes operadores em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a expressão do divergente do campo vetorial
em coordenadas esféricas . O conteúdo é cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais, e vamos usar a fórmula geral do divergente usando os fatores de escala (ou “metric factors”) dessas coordenadas.
em coordenadas esféricas
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as variáveis
\n
e os fatores de escala
e os fatores de escala
O volume elementar é
Passo 3
A fórmula geral do divergente em coordenadas ortogonais é
Aplicando
e as componentes
, cada parcela é:
- Para
( ): . - Para
( ): . - Para
( ):
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Simplificando cada termo:
Logo obtemos a forma mista:
Distribuindo
e tirando fatores que não dependem da variável de derivação, chega-se à forma mais comum: